Question

объясните, пожалуйста, как решать

Answer 1

$\dfrac{\log_{9}(2 - x) - \log_{15}(2 - x)}{\log_{15}x - \log_{25}x} \leqslant \log_{25}3$

Прежде всего, найдем ОДЗ:

$\left\{\begin{array}{ccc}2 - x > 0, \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\x > 0, \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\log_{15}x - \log_{25}x \neq 0 \end{array}\right$

$\left\{\begin{array}{ccc}x < 2\\x > 0\\x \neq 1\end{array}\right$

Следовательно, $x \in (0; \ 1) \cup (1; \ 2).$

Преобразуем левую часть неравенства:

$\dfrac{\dfrac{1}{\log_{2 - x}9} - \dfrac{1}{\log_{2 - x}15} }{\dfrac{1}{\log_{x}15} - \dfrac{1}{\log_{x}25} }\leqslant \log_{25}3$

$\dfrac{\dfrac{\log_{2 - x}15 - \log_{2 - x}9}{\log_{2-x}9\log_{2-x}15} }{\dfrac{\log_{x}25 - \log_{x}15}{\log_{x}15\log_{x}25} } \leqslant \log_{25}3$

$\dfrac{\log_{2-x}\dfrac{15}{9} \log_{x}15\log_{x}5^{2}}{\log_{x}\dfrac{25}{15}\log_{2-x}3^{2}\log_{2-x}15 } \leqslant \log_{25}}3$

$\dfrac{\log_{2-x}\dfrac{5}{3} \log_{x}15\log_{x}5}{\log_{x}\dfrac{5}{3}\log_{2-x}3 \log_{2-x}15} \leqslant \log_{25}3$

$\dfrac{\log_{{\frac{5}{3}}}x \log_{3}(2-x)\log_{15}(2-x)}{\log_{{\frac{5}{3}}}(2-x)\log_{15}x\log_{5}x} \leqslant \log_{25}3$

$\dfrac{\log_{\frac{5}{3} }x}{\log_{\frac{5}{3}} (2-x)} \cdot \dfrac{\log_{15}(2-x)}{\log_{15}x} \cdot \dfrac{\log_{3}(2-x)}{\log_{5}x} \leqslant \log_{25}3$

$\underset{1}{\underbrace{\log_{2-x}x \cdot \log_{x}(2-x)}} \cdot \dfrac{\log_{3}(2 - x)}{\log_{5}x} \leqslant \log_{5^{2}}3$

$\dfrac{\log_{3}(2 - x)}{\log_{5}x} \leqslant \log_{5}\sqrt{3}$

$\dfrac{\log_{3}(2-x) - \log_{5}\sqrt{3}\log_{5}x}{\log_{5}x} \leqslant 0$

Решим неравенство методом интервалов.

$\log_{3}(2-x) - \log_{5}\sqrt{3}\log_{5}x = 0$

Данное равенство будет выполняться, если

$\left\{\begin{array}{ccc}\log_{3}(2 - x) = 0, \ \ \ \\\log_{5}\sqrt{3}\log_{5}x = 0\\\end{array}\right$

Следовательно, $x = 1$. Однако, этот корень не входит в ОДЗ. Значит, уравнение не имеет решений.

Итог: данное неравенство будет выполнятся всегда или не выполнится никогда. Проверим это, подставив любую точку из ОДЗ, например, $x_{0} = \dfrac{1}{25} = 0,04$

$\dfrac{\log_{3}(1,96) - \log_{5}\sqrt{3}\log_{5}\dfrac{1}{25} }{\log_{5}\dfrac{1}{25} } \leqslant 0$

$\dfrac{\log_{3}(1,96) + \log_{5}3}{-2} \leqslant 0$ — истина.

Следовательно, данное неравенство выполняется при всех $x$ из области определения.

Ответ: $x \in (0; \ 1) \cup (1; \ 2).$