Question

Известно, что tg 2х = 3/4, пи < x < 5пи/4. Вычислите: cos x, sin x, tg x, ctg x. Пожалуйста с формулами ))))

Answer 1

$tg2x=\frac{3}{4}\; \; ,\; \; \pi <x<\frac{5\pi }{4}\\\\tg2x=\frac{2tgx}{1-tg^2x}\; \; \to \; \; \frac{2tgx}{1-tg^2x}=\frac{3}{4}\; \; \to \; \; 8tgx=3-3tg^2x\; ,\\\\3tg^2x+8tgx-3=0\; \; ,\; \; D/4=4^2+3\cdot 3=25\; ,\\\\tgx=\frac{-4-5}{3}=-3<0\; \; ,\; \; tgx=\frac{-4+5}{3}=\frac{1}{3}>0\\\\\pi <x<\frac{5\pi}{4}\; \; \to \; \; x\in 3\, chetverti\; \; \to \; \; tgx>0\; \; \to \; \; tgx=\frac{1}{3}\\\\1+tg^2x=\frac{1}{cos^2x}\; \; \to \; \; cos^2x=\frac{1}{1+tg^2x}=\frac{1}{1+\frac{1}{9}}=\frac{9}{10}=0,9$

$cosx=\pm \sqrt{0,9}=\pm \sqrt{\frac{9}{10}}=\pm \frac{3}{\sqrt{10}}\\\\\pi <x<\frac{5\pi}{4}\; \; \to \; \; cosx<0\; \; \to \; \; cosx=-\frac{3}{\sqrt{10}}=-\frac{3\sqrt{10}}{10}\\\\sin^2x=1-cos^2x=1-0,9=0,1\; \; \to \; \; cosx=\pm \sqrt{0,1}=\pm \frac{1}{\sqrt{10}}\\\\\pi <x<\frac{5\pi}{4}\; \; \to \; \; sinx<0\; \; \to \; \; sinx=-\frac{1}{\sqrt{10}}=-\frac{\sqrt{10}}{10}\\\\ctgx=\frac{1}{tgx}=\frac{1}{1/3}=3$

$Otvet:\; \; sinx=-\frac{\sqrt{10}}{10}\; ,\; cosx=-\frac{3\sqrt{10}}{10}\; ,\; tgx=\frac{1}{3}\; ,\; ctgx=3\; .$