Question

Найти значения выражений
$\sin( \alpha - \frac{3\pi}{2} )$
и
$\tan(2\pi - \alpha )$
, если
$\sin( \alpha ) = - \frac{2}{3}$
и
$\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$
​

Answer 1

Согласно формулам приведения, тригонометрические функции вида $f\left(\dfrac{n\pi}{2} \pm k\alpha \right)$, где $n \in N, \ k \in Z,$ $\alpha$ — некий острый угол, меняются на кофункцию вида $g(k\alpha ), \ k \in Z$ с учетом четверти, в которой находится функция $f$.

Также, согласно формулам приведения, тригонометрические функции вида $f\left(n\pi \pm k\alpha \right)$, где $n \in N, \ k \in Z,$ $\alpha$ — некий острый угол, остаются такими же только без части $\pi n, \ n \in Z,$ с учетом четверти, в которой находится функция $f$.

Итак, имеем: $\sin \left(\alpha - \dfrac{3\pi}{2} \right) = -\sin \left( \dfrac{3\pi}{2} - \alpha \right)$

Значение $\dfrac{3\pi}{2} - \alpha$ находиться в третьей четверти, а функция синус в третьей четверти отрицательна. Также, с учетом того, что имеем $\dfrac{3\pi}{2}$, то функция синус измениться на кофункцию косинус. Следовательно,

$\sin \left(\alpha - \dfrac{3\pi}{2} \right) = -\sin \left( \dfrac{3\pi}{2} - \alpha \right) = -(-\cos \alpha) = \cos \alpha$

Найдем значение $\cos \alpha$, зная, что $\sin \alpha = -\dfrac{2}{3}$, используя основное тригонометрическое тождество, и то, что угол $\alpha$ находится в 4-й четверти.

$\sin^{2}\alpha + \cos^{2}\alpha = 1\\\cos^{2}\alpha = 1 - \sin^{2}\alpha = 1 - \left(-\dfrac{2}{3} \right)^{2} = 1 - \dfrac{4}{9} = \dfrac{5}{9} \\\cos \alpha = \sqrt{\dfrac{5}{9}} = \dfrac{\sqrt{5}}{3}$

Найдем $\text{tg} (2\pi - \alpha )$.

Значение $2\pi - \alpha$ находится в 4-й четверти, а функция тангенс в этой четверти отрицательна. Также, с учетом того, что имеем $2\pi$, функция тангенс не изменится на кофункцию. Следовательно,

$\text{tg} (2\pi - \alpha ) = -\text{tg} \ \alpha$

Воспользуемся тем, что $\text{tg} \ \alpha = \dfrac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$

Зная значения $\sin \alpha = -\dfrac{2}{3}$ и $\cos \alpha = \dfrac{\sqrt{5}}{3}$ имеем:

$\text{tg} (2\pi - \alpha ) = -\text{tg} \ \alpha = -\dfrac{\sin \alpha }{\cos \alpha }= -\dfrac{-\dfrac{2}{3} }{\dfrac{\sqrt{5}}{3} } = \dfrac{2}{\sqrt{5}}= \dfrac{2\sqrt{5}}{5}$

Ответ: $\sin \left(\alpha - \dfrac{3\pi}{2} \right) = \dfrac{\sqrt{5}}{3}; \ \text{tg}(2\pi - \alpha ) = \dfrac{2\sqrt{5}}{5}$