Question

решить сложные производные
1)y=1/(arctg^2(4x^2-1)
2)y=1/10*e^-x*(-tg3x-ctg3x)
3)y=sqrt(3)/2*arctg^3*(x/sqrt(2)

Answer 1

$1)\; \; y=\frac{1}{arctg^2(4x^2-1)}\; \; ,\; \; y=(arctg(4x^2-1))^{-2}\\\\(u^{-2})'=-2\cdot u^{-3}\cdot u'\; \; ,\; \; u=arctg(4x^2-1)\\\\y'=-2\cdot (arctg(4x^2-1))^{-3}\cdot \frac{1}{1+(4x^2-1)^2}\cdot 8x=\frac{-16x}{arcrtg^3(4x^2-1)\, \cdot \, (16x^4-8x^2+2)}$

$2)\; \; y=\frac{1}{10}\cdot e^{-x}\cdot (-tg3x-ctg3x)\\\\(uv)'=u'v+uv'\\\\y'=\frac{1}{10}\cdot \Big(-e^{-x}\cdot (-tg3x-ctg3x)+e^{-x}\cdot (-\frac{3}{cos^23x}+\frac{3}{sin^23x})\Big)=\\\\=\frac{1}{10}\cdot \Big (e^{-x}\cdot (tg3x+ctg3x)+3e^{-x}\cdot \frac{cos^23x-sin^23x}{cos^23x\, \cdot \, sin^23x}\Big )=\\\\=\frac{e^{-x}}{10}\cdot \Big (tg3x+ctg3x+\frac{12\, cos6x}{sin^26x}\Big )$

$3)\; \; y=\frac{\sqrt3}{2}\cdot arctg^3(\frac{x}{\sqrt2})\\\\y'=\frac{\sqrt3}{2}\cdot 3\, arctg^2(\frac{x}{\sqrt2})\cdot \frac{1}{1+\frac{x^2}{2}}\cdot \frac{1}{\sqrt2}=\frac{3\sqrt3}{2\sqrt2}\cdot arctg^2(\frac{x}{\sqrt2})\cdot \frac{2}{2+x^2}=\\\\=\frac{3\sqrt3}{\sqrt2}\cdot arctg^2(\frac{x}{\sqrt2})\cdot \frac{1}{2+x^2}$