Question

Решите уравнение
sqrt(x-2sqrt(x-1)) + srqt(x+3-4sqrt(x-1))=1

Answer 1

$\sqrt{x-2\sqrt{x-1} } +\sqrt{x+3-4\sqrt{x-1} }=1;\\\\\sqrt{(\sqrt{x-1})^2-2\cdot1\cdot\sqrt{x-1}+1^2} +\sqrt{(\sqrt{x-1})^2-2\cdot2\cdot\sqrt{x-1} +2^2}=1;\\\\ \sqrt{(\sqrt{x-1}-1)^2}+\sqrt{(\sqrt{x-1}-2)^2}=1.\\\\ |\sqrt{x-1}-1|+|\sqrt{x-1}-2|=1.$

Заметим, что если x ≥ 1 - ОДЗ для корня - и если первый модуль раскрыть со знаком +, а второй - со знаком -, то получим следующее:

$(\sqrt{x-1}-1)+(-\sqrt{x-1}+2)=1, \\\\\sqrt{x-1}-1-\sqrt{x-1}+2=1;\\1=1$

Т.е. для равенства левой и правой частей достаточно того, чтобы первый модуль раскрывался с плюсом (подмодульное выражение ≥ 0), а второй - со знаком минус (подмодульное выражение ≤ 0). Оба условия объединяем в систему:

$\left \{ {{\sqrt{x-1}-1\geq 0} \atop {\sqrt{x-1}-2\leq 0;}} \right. \left \{ {{\sqrt{x-1}\geq 1} \atop {\sqrt{x-1}\leq2}} \right. \left \{ {{x-1\geq 1} \atop {x-1\leq4}} \right. \left \{ {{x\geq 2} \atop {x\leq5}} \right.$

Решение системы - $x\in[2;5]$. Соответсвенно весь этот отрезок - с учетом того, что он удовлетворяет ОДЗ - является решением уравнения.

ОТВЕТ: [2; 5]