Question

у рівнянні х^2+2ах-6=0 сума коренів х1+х2=3
1)знайти а
2) знайти х1^2 + x2^2

Answer 1

$x^{2} + 2ax - 6 = 0$

1) Згідно з теоремою Вієта, сума коренів зведеного квадратного рівняння дорівнює другому коефіцієнту, узятому з протилежним знаком, тобто

$x_{1} + x_{2} = -2a$

Але в умові задачі сказано, що $x_{1} + x_{2} = 3$.

Отже, $-2a = 3$, звідки $a = -\dfrac{3}{2}$

2) Також, згідно з теоремою Вієта, добуток коренів зведеного квадратного рівняння дорівнює вільному (третьому) коефіцієнту, тобто

$x_{1} \cdot x_{2} = -6$

Скористаємося формулою квадрата суми. Маємо:

$(x_{1} + x_{2})^{2} = x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + 2x_{1}x_{2}$

Підставимо в задану формулу значення $x_{1} + x_{2} = 3$ та $x_{1}x_{2} =-6$

$3^{2} = x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + 2 \cdot (-6)\\9 = x_{1}^{2} + x_{2}^{2} - 12\\x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 21$

Відповідь: 1) $a = -\dfrac{3}{2}$; 2) $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 21$.