Question

Известно, что f(x+1) = f(x) + x^2/101. Также известно, что f(1) =-3
Найдите f(101)

Answer 1

Ответ: 3347

Объяснение:

f(x+1) = f(x) + x^2/101

f(1) =-3

Найдем f(2) :

f(2)= f(1) +1^2/101= -3 +1^2/101

Найдем  f(3) :

f(3) = f(2) +2^2/101 = -3 +1^2/101 +2^2/101

Нетрудно понять   , что

f(n)  = -3 + 1^2 /101 + 2^2/101 +3^2/101 +....+(n-1)^2/101  , где n-натуральное число

Или в более компактном виде :

f(n) =  -3 +( 1^2 +2^2 +3^2 +4^2 +...+(n-1)^2 ) /101

Выведем формулы для суммы :

S(n) =1^2+2^2+3^2+4^2+...+n^2

Рассмотрим  такую сумму :

S'(n) = (2^3-1^3) + (3^3-2^3) + (4^3-3^3).... + ( (n+1)^3 - n^3)

Очевидно , что после раскрытия всех скобок  все  слагаемые кроме :

-1^3  и (n+1)^3  взаимно уничтожатся , а значит

S'(n) = (n+1)^3-1

Найдем теперь эту сумму вторым способом, раскрывая каждую из скобок про формуле разности кубов :

Упростим выражение :

(k+1)^3 -k^3 = (k+1 -k) * ( (k+1)^2 +k*(k+1) +k^2 ) =  3k^2 +3k +1

Тогда S'(n) можно записать так :

S'(n) =  ( 3*1^2 +3*1+1)  +(3*2^2 +3*2+1) + (3*3^2+3*3+1) +...+(3*n^2+3n+1)

Или в таком виде :

S'(n) =  n + 3*(1+2+3+4+...+n)  + 3*(1^2+2^2+3^3+...+n^2)  (n возникает из - за сложения n  единичек)

Cумма :  1+2+3+4+...+n - арифметическая прогрессия, в данном случае это классическая сумма Гаусса :

1+2+3+4+...+n =n*(n+1)/2

Откуда , если  S(n) =1^2+2^2+3^2+4^2+...+n^2

S'(n)=  3*S(n)  +3*n*(n+1)/2 +n

(n+1)^3-1 =  3*S(n)  +3*n*(n+1)/2 +n

3*S(n) =  (n+1)^3 - (n+1)  -3*n*(n+1)/2

6*S(n) = 2*(n+1)^3 -2*(n+1) - 3*n*(n+1)

6*S(n) = (n+1)*(  2*(n+1)^2 -2 -3n) =  (n+1)*(  2n^2 +n)  = n*(n+1)*(2n+1)

S(n) = n*(n+1)*(2n+1)/6

Теперь вернемся к основной  задаче и найдем f(101)

f(101) =-3 + (1^2+2^2+3^2 +....+100^2)/101 = -3 +(100*101*201)/(6*101) =

=-3 +  100*201/6 = -3 +100*67/2 =  -3 + 3350 = 3347