Question

Найдите площадь закрашенных фигур. Нужны задачи 2,6,3,7,8,4

Answer 1

2. Проведём в ΔOMN высоту OH. Тогда HM = 6 (OH -- медиана)

$OH=\sqrt{OM^2-MH^2}=\sqrt{400-36}=\sqrt{364}=2\sqrt{91}$

$S_{\Delta OMN}=\frac{1}{2}MN\cdot OH=12\sqrt{91}\\ \\ S_{\Delta OMN}=\frac{1}{2}OM\cdot OH\cdot sin\angle O=200sin\angle O=12\sqrt{91} \\ \\ sin\angle O=0,06\sqrt{91}\\ \\ \angle O=arcsin(0,06\sqrt{91})$

$S_{cekm.}=\pi R^2\cdot\frac{\alpha}{360^{\circ}}\\ \\ S_{cekm.}=\pi \cdot20^2\cdot\frac{arcsin(0,06\sqrt{91})}{360}=\frac{10\pi}{9}\cdot arcsin (0,06\sqrt{91})\\ \\ \\ S_{uck.}=S_{cekm.}-S_{\Delta OMN}=\frac{10\pi}{9}\cdot arcsin (0,06\sqrt{91})-12\sqrt{91} \\ \\ OTBET:\frac{10\pi}{9}\cdot arcsin (0,06\sqrt{91})-12\sqrt{91}$

3. ∠MON опирается на дугу MN -- центральный угол ⇒ ∠MON = 60°

$S_{\Delta OMN}=\frac{1}{2}\cdot MO \cdot ON\cdot sin\angle O=\frac{1}{2}\cdot 10 \cdot 10\cdot sin60^{\circ}=50\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=25\sqrt{3}$

$S_{cekm.}=\pi \cdot10^2\cdot\frac{60}{360}=\frac{50\pi}{3} \\ \\ \\ S_{uck.}=S_{cekm.}-S_{\Delta OMN}=\frac{50\pi}{3}-25\sqrt{3} \\ \\ OTBET:\frac{50\pi}{3}-25\sqrt{3}$

4. Так как ΔOFE -- р/б, то OK -- медиана ⇒ EK = KF

$EF=2KF=2\sqrt{OF^2-OK^2}=2\sqrt{169-9}=2\sqrt{160}=8\sqrt{10}$

$S_{\Delta OFE}=\frac{1}{2}OK\cdot EF=\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot8\sqrt{10}=12\sqrt{10} \\ \\ S_{\Delta OFE}=\frac{1}{2}OE\cdot OF\cdot sin\angle O=\frac{169}{2}\cdot sin\angle O=12\sqrt{10} \\ \\ sin\angle O=\frac{24\sqrt{10} }{169} \\ \\ \angle O=arcsin(\frac{24\sqrt{10} }{169} )$

$S_{cekm.}=\pi \cdot13^2\cdot\frac{arcsin(\frac{24\sqrt{10} }{169} )}{360}=\frac{169\pi}{360}\cdot arcsin (\frac{24\sqrt{10} }{169})\\ \\ \\ S_{uck.}=S_{cekm.}-S_{\Delta OFE}=\frac{169\pi}{360}\cdot arcsin (\frac{24\sqrt{10} }{169})-12\sqrt{10} \\ \\ OTBET:\frac{169\pi}{360}\cdot arcsin (\frac{24\sqrt{10} }{169})-12\sqrt{10}$

6. Площадь закрашенной фигуры можно получить, если из круга "вырезать" белый квадрат.

$S_{kp.}=\pi R^2=\pi\cdot 10^2=100\pi$

Пусть a -- сторона квадрата. Если из точки O провести радиус к соседней вершине квадрата, то получится треугольник, из которого

$a=\sqrt{10^2+10^2}=\sqrt{200}=10\sqrt{2}\\ \\ S_{k.}=a^2=200\\ \\ \\ S_{uck.}=S_{kp.}-S_{k.}=100\pi-200\\ \\ OTBET:100\pi-200$

7. ∠AOB малый опирается на дугу AB -- центральный угол ⇒ ∠AOB малый = 60°. Найдём больший угол AOB.

$\angle AOB=360^{\circ}-60^{\circ}=300^{\circ}\\ \\ \\ S_{uck.}=\pi \cdot8^2\cdot\frac{300}{360}=\frac{160\pi}{3} \\ \\ OTBET:\frac{160\pi}{3}$

8. Каждая белая часть -- это четверть круга. Вместе они образуют круг с радиусом в половину стороны квадрата.

$S^*_{kp.}=\pi R^2=\pi \cdot(\frac{AB}{2})^2=\pi\cdot4^2=16\pi\\ \\ S_{k.}=AB^2=64\\ \\ \\ S_{uck.}=S_{k.}-S^*_{kp.}=64-16\pi\\ \\ OTBET:64-16\pi$