Question

№1. Найдите наименьшее значение функции y=12sinx-17x+8 на отрезке $[-\frac{3\pi }{2};0].$
№2. Найдите наименьшее значение функции $y=(x^{2}+10x-10)e^{-10-x}$ на отрезке $[-13;-8].$

Помогите, пожалуйста!

Answer 1

Ответ:

№1. 8

№2. -10

Объяснение:

№1. y=12·sinx-17·x+8 на отрезке $[-\frac{3\pi }{2}; 0]$ .

Производная от функции:

y'=(12·sinx-17·x+8)'=12·cosx-17

Так как |cosx|≤1, то y'=12·cosx-17<0, что означает функция убывающая. Тогда наименьшее значение функции на отрезке $[-\frac{3\pi }{2}; 0]$ получим при x=0:

y(0)=12·sin0-17·0+8 = 8.

№2. y=(x²+10·x-10)·e⁻¹⁰⁻ˣ на отрезке [-13; -8].

Производная от функции:

y'=((x²+10·x-10)·e⁻¹⁰⁻ˣ)'=(x²+10·x-10)'·e⁻¹⁰⁻ˣ+(x²+10·x-10)·(e⁻¹⁰⁻ˣ)'=

=(2·x+10)·e⁻¹⁰⁻ˣ+(x²+10·x-10)·e⁻¹⁰⁻ˣ·(-10-x)'=

=e⁻¹⁰⁻ˣ·((2·x+10)+(x²+10·x-10)·(-1))=e⁻¹⁰⁻ˣ·(2·x+10-x²-10·x+10)=

=e⁻¹⁰⁻ˣ·(20-x²-8·x)

Определим критические точки, то есть решаем уравнение y'=0:

e⁻¹⁰⁻ˣ·(20-x²-8·x)=0 ⇔ 20-x²-8·x=0 ⇔ x²+8·x-20=0

D= 8²-4·1·(-20)=64+80=144=12²

$\displaystyle x_{1}=\frac{-8-12 }{2} =-4-6= -10 , -13 \leq -10 \leq -8\\ \\x_{2}=\frac{-8+12}{2} =-4+6=2 , x_{2}=2>-8$

Рассмотрим значения функции при x= -13, x= -10 и x = -8:

y(-13)=((-13)²+10·(-13)-10)·e⁻¹⁰⁺¹³=29·e³

y(-8)=((-8)²+10·(-8)-10)·e⁻¹⁰⁺⁸= -26·e⁻²

y(-10)=((-10)²+10·(-10)-10)·e⁻¹⁰⁺¹⁰= -10·e⁰= -10

Оценим:

$y(-8)-y(-10)=-26e^{-2} -(-10)=\frac{-26}{e^{2}}+10 =\frac{-26+10e^{2}}{e^{2}}>0$

Тогда y(-13)>y(-8)>y(-10), поэтому как наименьшее значение функции на отрезке [-13; -8] получим при x= -10:

y(-10)= -10