Question

ПОМОГИТЕ РЕШИТЬ:
определить тип дифференциального уравнения и найти его общее решение (xy+y²)dx-x²dy=0

Answer 1

Перепишем диф. уравнение в следующем виде

$xy+y^2-x^2y'=0$

Тип: линейное однородное дифференциальное уравнение.

Пусть $y=ux$, тогда $y'=u'x+u$. Получаем:

$ux^2+u^2x^2-x^2(u'x+u)=0\\ x=0;\\ \\ u+u^2-u'x-u=0\\ \\ u'x=u^2$

Свели к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными.

$\displaystyle \int \dfrac{du}{u^2}=\int \dfrac{dx}{x}~~\Rightarrow~~ -\dfrac{1}{u}=\ln |x| +C\\ \\ u=-\dfrac{1}{\ln |x|+C}\\ \\ \dfrac{y}{x}=-\dfrac{1}{\ln |x|+C}~~~\Rightarrow~~~ \boxed{y=-\dfrac{x}{\ln |x|+C}}$

Общее решение: $y=-\dfrac{x}{\ln|x|+C}$