Question

Докажите, что при a,b,c,d>0 выполнено неравенство a/(b+c+d) + (b+c)/(a+d) +
+ d/(b+a)>1

Answer 1

$a,b,c,d>0=>\\ 1)\;b+c+d<a+b+c+d=>\dfrac{1}{b+c+d}>\dfrac{1}{a+b+c+d}=>\dfrac{a}{b+c+d}>\dfrac{a}{a+b+c+d}\\ 2)\;a+d<a+b+c+d=>\dfrac{1}{a+d}>\dfrac{1}{a+b+c+d}=>\dfrac{b+c}{a+d}>\dfrac{b+c}{a+b+c+d}\\3)\;b+a<a+b+c+d=>\dfrac{1}{b+a}>\dfrac{1}{a+b+c+d}=>\dfrac{d}{b+a}>\dfrac{d}{a+b+c+d}\\ =>\dfrac{a}{b+c+d}+\dfrac{b+c}{a+d}+\dfrac{d}{b+a}>\dfrac{a}{a+b+c+d}+\dfrac{b+c}{a+b+c+d}+\dfrac{d}{a+b+c+d}=\dfrac{a+b+c+d}{a+b+c+d}=1$