Question

Помогите решить уравнение с комплексными числами
z^3-3+3i=0

Answer 1

$z=\sqrt[3]{3-3i}$

Розглянемо комплексне число $a=3-3i,~~ |a|=\sqrt{3^2+(-3)^2}=3\sqrt{2}$

$a=3\sqrt{2}\Bigg(\dfrac{1}{\sqrt{2}}-\dfrac{1}{\sqrt{2}}i\Bigg)=3\sqrt{2}\Bigg(\cos \left(-\dfrac{\pi}{4}\right)+i\sin\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)\Bigg)$

$z=\sqrt[3]{a}=\sqrt[3]{3\sqrt{2}}\Bigg(\cos\dfrac{-\dfrac{\pi}{4}+2\pi k}{3}+i\sin\dfrac{-\dfrac{\pi}{4}+2\pi k}{3}\Bigg),~~ k=0,1,2.$