Question

помогите, пожалуйста, максимально подробно нужно

Answer 1

$\sf\displaystyle \int\limits {\frac{dx}{\sin^2x-5\sin x\cos x}} \,$

1. Воспользуемся универсальной тригонометрической подстановкой:

$\sf \displaystyle t=tg\; x \;\;\;\;\; \sin^2 x=\frac{t^2}{1+t^2} \;\;\;\;\; \cos^2 x=\frac{1}{1+t^2} \;\;\;\;\; dx=\frac{dt}{1+t^2}$

$\displaystyle \sf \int\limits {\frac{1}{\frac{t^2}{1+t^2}-5\frac{t}{\sqrt{1+t^2}}\cdot\frac{1}{\sqrt{1+t^2}}}\cdot \frac{dt}{1+t^2}} \, =\int\limits {\frac{1}{\frac{t^2}{1+t^2}-\frac{5t}{1+t^2}}\cdot \frac{dt}{1+t^2}} \,=\int\limits {\frac{dt}{t^2-5t}} \,$

2. Преобразовав интеграл, воспользуемся методом неопределённых коэффициентов:

$\displaystyle\sf \Big[\frac{A}{t}+\frac{B}{t-5}=\frac{A(t-5)+Bt}{t(t-5)}=\frac{At-5A+Bt}{t(t-5)}=\frac{t(A+B)-5A}{t(t-5)}\Big ]$

3. Перейдём в систему уравнений:

$\displaystyle\sf \left \{ {{A+B=0} \atop {-5A=1}} \right. \left \{ {{B=\frac{1}{5}} \atop {A=-\frac{1}{5}}} \right.$

Сумма A+B = 0, потому что окончательном варианте шага 1, мы не имеем в числителе слагаемых содержащих переменную t, но есть "невидимая" 1, на которую умножается dt.

4. Подставим в нач данные уже найденные коэффициенты в шаг 2:

$\displaystyle \sf \int\limits {\Big (\frac{-\frac{1}{5}}{t}}+\frac{\frac{1}{5}}{t-5}\Big) \, dt$

4.1. Разбиваем неопределённый интеграл на 2 части, при этом вынося коэффициент, стоящий в числителе:

$\displaystyle \sf -\frac{1}{5}\int\limits {\frac{dt}{t}} \,+\frac{1}{5}\int\limits{\frac{dt}{t-5}} \, =-\frac{1}{5}\ln |t|+\frac{1}{5}\ln |t-5|+C$

5. Выполняю обратную подстановку:

$\displaystyle \sf \frac{1}{5}\ln| tg\; x-5|-\frac{1}{5}\ln |tg \;x|+C$