Question

Какое наибольшее значение может иметь выражение:
$\sqrt{ - ( {x} - 1)^{2} + 5 }$
$\sqrt{ - 4(x- \sqrt{2} )^{2} + 6 }$
​

Answer 1

Воспользуемся тем, что квадрат любой величины неотрицателен.

$(x-1)^2\geq 0\\-(x-1)^2\leq 0\\-(x-1)^2+5\leq 5\\\sqrt{-(x-1)^2+5} \leq \sqrt{5}$

Говоря более точно, можно сказать, что корень принимает только неотрицательные значения, а также что под корнем может стоять только неотрицательная величина, но для нахождения наибольшего значения этого достаточно.

$y_{max}=\sqrt{5}$

Для второго выражения аналогично:

$(x-\sqrt{2} )^2\geq 0\\4(x-\sqrt{2} )^2\geq 0\\-4(x-\sqrt{2} )^2\leq 0\\-4(x-\sqrt{2} )^2+6\leq6\\\sqrt{-4(x-\sqrt{2} )^2+6} \leq\sqrt{6}$

$y_{max}=\sqrt{6}$