Question

Решите тригонометрическое ур-ние :
2cos²x + √2sinx = 0

Answer 1

Ответ:

$\frac{7\pi}{4} + 2\pi \: k$

$\frac{5\pi}{4} + 2\pi \: k$

Answer 2

$2\cos^2x + \sqrt{2} \sin x = 0$

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:

$2(1-\sin^2x) + \sqrt{2} \sin x = 0\\2-2\sin^2x+\sqrt{2} \sin x = 0\\2\sin^2x-\sqrt{2} \sin x-2 = 0$

$D=(-\sqrt{2})^2-4\cdot2\cdot(-2)=2+16=18$

$\sin x=\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{18}}{2\cdot2} =\dfrac{\sqrt{2}+3\sqrt{2}}{4}= \dfrac{4\sqrt{2}}{4} =\sqrt{2}\\\sin x=\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{18}}{2\cdot2} =\dfrac{\sqrt{2}-3\sqrt{2}}{4} =\dfrac{-2\sqrt{2}}{4} =-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

Уравнение $\sin x=\sqrt{2}$ не имеет решений поскольку синус принимает значения на отрезке от -1 до 1.

Решаем второе уравнение:

$\sin x=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\\x=(-1)^{k+1}\arcsin\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\pi k\\x=(-1)^{k+1}\dfrac{\pi}{4}+\pi k, \ k\in \mathbb{Z}$

Ответ: $(-1)^{k+1}\dfrac{\pi}{4}+\pi k, \ k\in \mathbb{Z}$