Question

найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка y'=4x+y/x

Answer 1

$y'=4x+\dfrac{y}{x}$

$y'-\dfrac{1}{x}\cdot y=4x$

Пусть решение представимо в виде произведения двух ненулевых функций: $y= uv$

Тогда: $y'=u'v+v'u$

Подставим в уравнение:

$u'v+v'u-\dfrac{1}{x}uv=4x$

Пусть сумма первого и третьего слагаемого в левой части равна нулю. В дальнейшем мы потребуем, чтобы соответственно второе слагаемое равнялось правой части.

$u'v-\dfrac{1}{x}uv=0$

Сократим на v, так как по предположение это ненулевая функция.

$u'-\dfrac{1}{x}u=0$

$\dfrac{du}{dx}=\dfrac{1}{x}u$

$\dfrac{du}{u}=\dfrac{dx}{x}$

$\ln u=\ln x$

$u=x$

Приравниваем второе слагаемое левой части к правой части:

$v'u=4x$

Подставляем выражения для u:

$v'x=4x$

$v'=4$

$\dfrac{dv}{dx} =4$

$dv=4dx$

$v=4x+C$

Искомая функция:

$y=uv=x(4x+C)=4x^2+Cx$

Ответ: $y=4x^2+Cx$

Answer 2

$y'-\dfrac{y}{x}=4x~~~\bigg|\cdot \dfrac{1}{x}\\ \\ \dfrac{y'x-y}{x^2}=4$

Левая часть уравнения это производная частного

$\left(\dfrac{y}{x}\right)'=4\\ \\ \\ \dfrac{y}{x}=4x+C\\ \\ y=4x^2+Cx$

Общее решение: y = 4x² + Cx