Question

Помогите, пожалуйста решить задание
по математической статистики

Answer 1

а) Поиск константы b

$\int\limits^{+\infty}_{-\infty} {f(x)} \, dx=1 \\ \\\\ \int\limits^{0}_{-\infty} {0} \, dx+\int\limits^{1}_{0} {(bx^2+0,5)} \, dx+\int\limits^{+\infty}_{1} {0} \, dx=1 \\ \\\\ 0+(\frac{bx^3}{3}+\frac{x}{2})\bigg|^1_0 +0=1 \\ \\\\ \frac{b}{3}+\frac{1}{2} =1 \\\\ b=\frac{3}{2}$

б) Поиск функции распределения F(x) и F(1/3), F(1/2)

$x<0:F(x)=\int\limits^{x}_{-\infty} {f(t)} \, dt=\int\limits^{x}_{-\infty} {0} \, dt=0 \\ \\\\ 0\leq x\leq1: F(x)=\int\limits^{x}_{-\infty} {f(t)} \, dt=\int\limits^{0}_{-\infty} {0} \, dt + \int\limits^{x}_{0} {(1,5t^2+0,5)} \, dt=\\\\\\=(0,5t^3+0,5t)\bigg|_0^x=0,5(x^3+x)\\\\x>1:F(x)=\int\limits^{x}_{-\infty} {f(t)} \, dt=\int\limits^{0}_{-\infty} {0} \, dt+\int\limits^{1}_{0} {(1,5t^2+0,5)} \, dt+\int\limits^{x}_{1} {0} \, dt=\\\\\\=(0,5t^3+0,5t)\bigg|_0^1=0,5+0,5=1$

Итого:

$F(x)=\left\{\begin{matrix}0, & &x<0 \\0,5(x^3+x), & & 0\leq x\leq1\\1,& & x>1\end{matrix}\right.$

Найдём F(1/3) и F(1/2):

$F(\frac{1}{3})=0,5((\frac{1}{3})^3+\frac{1}{3})=\frac{1}{2}(\frac{1}{27}+\frac{9}{27})=\frac{5}{27} \\ \\ F(\frac{1}{2})=0,5((\frac{1}{2})^3+\frac{1}{2})=\frac{1}{2}(\frac{1}{8}+\frac{4}{8})=\frac{5}{16}=0,3125$

в) Поиск математического ожидания

$M(X)=\int\limits^{+\infty}_{-\infty} {xf(x)} \, dx=\int\limits^{0}_{-\infty} {x\cdot0} \, dx+\int\limits^{1}_{0} {x(1,5x^2+0,5)} \, dx+\int\limits^{+\infty}_{1} {x\cdot0} \, dx=\\ \\ =0+\int\limits^{1}_{0} {(1,5x^3+0,5x)} \, dx+0=(0,5x^3+0,25x^2)\bigg|^1_0=0,75$

г) Поиск дисперсии

$D(X)=\int\limits^{+\infty}_{-\infty} {x^2f(x)} \, dx=\int\limits^{0}_{-\infty} {x^2\cdot0} \, dx+\int\limits^{1}_{0} {x^2(1,5x^2+0,5)} \, dx+\int\limits^{+\infty}_{1} {x^2\cdot0} \, dx=\\ \\ =0+\int\limits^{1}_{0} {(1,5x^4+0,5x^2)} \, dx+0=(\frac{3x^5}{10}+\frac{x^3}{6} )\bigg|^1_0=\frac{9}{30}+\frac{5}{30}=\frac{14}{30}=\frac{7}{15}$

д) Поиск P(1/3 < X < 1/2)

$P(\frac{1}{3}<X<\frac{1}{2})=F(\frac{1}{2}-0)-F(\frac{1}{3}+0)=\frac{5}{16}-\frac{5}{27}=5\cdot\frac{27-16}{16\cdot27}=5\cdot\frac{11}{432}=\frac{55}{432}$