Question

Докажите что выражения принимает только неотрицательные значения

1)
$a ^{2} + 2ab + 2b {}^{2} + 2b + 1$
2)
$x {}^{2} - 4xy + y {}^{2} + x {}^{2} y {}^{2} + 1$
​

Answer 1

1)

$a^2+2ab+2b^2+2b+1=a^2+2ab+b^2+b^2+2b+1=(a+b)^2+(b+1)^2 \ge 0$

2)

$x^2-4xy+y^2+x^2y^2+1=x^2-2xy+y^2+x^2y^2-2xy+1=(x-y)^2+(xy-1)^2 \ge 0$