Question

Исследовать функцию и построить ее график. Третье задание. Полностью во вложении. Необходимо +-подробное решение.

Answer 1

$y=\dfrac{x^3}{x^2+2x-3}$

1) Функция общего вида

2) Область определения

$x^2+2x-3\neq0\\x\neq-3;1$

3) Возрастание и убывание функции

$y'=\dfrac{x^3(2x+2)-3x^2(x^2+2x-3)}{(x^2+2x-3)^2}=\dfrac{x^4+4x^3-9x^2}{(x^2+2x-3)^2}\\x^2(x^2+4x-9)=0\\x_1=0\\x^2+4x-9=0\\D/4=4+9=13\\x_{2,3}=-2\pm\sqrt{13}\approx5.6;1.6$

Возрастает на: $x\in(-\infty;-2-\sqrt{13})\cup(-2+\sqrt{13};+\infty)$

Убывает: $x\in(-2-\sqrt{13};-3)\cup(-3;0)\cup(0;1)\cup(1;-2+\sqrt{13})$

4) Выпуклость вогнутость:

$y''=\dfrac{(4x^3+12x^2-18x)(x^2+2x-3)^2-2(x^2+2x-3)(2x+2)(x^4+3x^3-9x^2)}{(x^2+2x-3)^4}=\dfrac{14x^3-36x^2+54x}{(x^2+2x-3)^3}\\2x(7x^2-18x+27)=0\\x_1=0\\7x^2-18x+27=0\\D/4=81-27*4<0\Rightarrow x\notin\mathbb R$

Выпукла: $x\in(-\infty;-3)\cup(0;1)$

Вогнута: $x\in (-3;0)\cup(1;+\infty)$

5) Асимтоты

Наклонная:

$k=\lim\limits_{x\rightarrow \infty}\dfrac{x^2}{x^2+2x-3}=1\\b=\dfrac{x^3}{x^2+2x-3}-x=\dfrac{-2x^2+3x}{x^2+2x-3}=-2\\y=x-2$

Вертикальные:

$\lim\limits_{x\rightarrow 1-0}\dfrac{x^3}{x^2+2x-3}=-\infty\\\lim\limits_{x\rightarrow 1+0}\dfrac{x^3}{x^2+2x-3}=\infty\\\lim\limits_{x\rightarrow -3-0}\dfrac{x^3}{x^2+2x-3}=-\infty\\\lim\limits_{x\rightarrow -3+0}\dfrac{x^3}{x^2+2x-3}=\infty$

x=-3 и x=1 вертикальные асимтоты

6) График

В приложении

Answer 2

Ответ:

================================

Объяснение: