Question

Урна А має 3 чорних кулі та 6 білих кульок. Урна В має 40 чорних кульок і

40 білих куль. Урна С має 6 чорних кульок та 3 білих кулі. Перша людина

випадковим чином вибирає одну з урн, а потім хапає кулю випадковим чином із

обрана урна. Яка ймовірність того, що кулька буде чорною? Якщо людина

схопив чорну кульку. Яка ймовірність того, що куля вийшла з урни В?

Answer 1

Нехай A — куля виявиться чорною. Відповідно введемо гіпотези

$H_1,H_2,H_3$, що характеризують обрання кулі з А, В, С урни відповідно.

$P(H_1)=P(H_2)=P(H_3)=\dfrac{1}{3}$

$P(A|H_1)=\dfrac{3}{9}=\dfrac{1}{3};\\ \\ P(A|H_2)=\dfrac{40}{80}=\dfrac{1}{2};\\ \\ P(A|H_3)=\dfrac{6}{9}=\dfrac{2}{3}.$

За формулою повної імовірності, імовірність появи події А

$P(A)=\dfrac{1}{3}\Bigg(\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{3}\Bigg)=\dfrac{1}{2}$

За формулою Байєса, імовірність того, що випадково вибрана кулька вийшла з урни В: $P(H_2|A)=\dfrac{P(A|H_2)P(H_2)}{P(A)}=\dfrac{1}{3}$