Question

На сторонах AB и ВС треугольника АВС взяты точки М и N соответственно,СМ:МВ=3:2. Прямая СN пересекает АМ в точке О и делит её в отношении АО:ОМ=5:1. Найти площадь треугольника ABC если площадь четырехугольника NBMO равна 6см^2..

Answer 1

За теоремою Менелая:

$\dfrac{BN}{AN}\cdot \dfrac{AO}{OM}\cdot \dfrac{CM}{BC}=1\\ \\ \dfrac{BN}{AN}\cdot 5\cdot \dfrac{3}{5}=1\\ \\ \dfrac{BN}{AN}=\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{S_{ABM}}{S_{ABC}}=\dfrac{BM}{BC}=\dfrac{2}{5}\\ \\ \dfrac{S_{AON}}{S_{ABM}}=\dfrac{AN\cdot AO}{AB\cdot AM}=\dfrac{3\cdot 5}{4\cdot 6}=\dfrac{5}{8}$

$S_{BMON}=\dfrac{3}{8}S_{ABM}=\dfrac{3}{8}\cdot \dfrac{2}{5}S_{ABC}=\dfrac{3}{20}S_{ABC}\\ \\ S_{ABC}=\dfrac{20}{3}S_{BMON}=\dfrac{20}{3}\cdot 6=40$