Question

Найдите все пары целых x и y такие, что x^3 + y^3 + 3x^2 − 3y^2 + 3x + 3y = 9.

Answer 1

Разложим левую часть уравнения на множители

$x^3+y^3+3x^2-3y^2+3x+3y=(x+y)(x^2-xy+y^2)+\\ \\ +3(x-y)(x+y)+3(x+y)=(x+y)(x^2-xy+y^2+3x-3y+3)=9$

Решим уравнение в целых числах

$\displaystyle \left \{ {{x+y=3} \atop {x^2-xy+y^2+3x-3y+3=3}} \right.~~~\Rightarrow~~~\left \{ {{x_1=1;~~ y_1=2} \atop {x_2=0;~~ y_2=3}} \right.$

$\displaystyle \left \{ {{x+y=-3} \atop {x^2-xy+y^2+3x-3y+3=-3}} \right.~~~\Rightarrow~~~ \varnothing$

$\displaystyle \left \{ {{x+y=9} \atop {x^2-xy+y^2+3x-3y+3=1}} \right.~~~\Rightarrow~~~\varnothing$

$\displaystyle \left \{ {{x+y=1} \atop {x^2-xy+y^2+3x-3y+3=9}} \right.~~~\Rightarrow~~~\left \{ {{x=\dfrac{-3\pm\sqrt{105}}{6}} \atop {y=\dfrac{9\pm\sqrt{105}}{6}}} \right.$

Но это не целые х и у

$\displaystyle \left \{ {{x+y=-9} \atop {x^2-xy+y^2+3x-3y+3=-1}} \right.~~~\Rightarrow~~~\varnothing$

$\displaystyle \left \{ {{x+y=9} \atop {x^2-xy+y^2+3x-3y+3=1}} \right.~~~\Rightarrow~~~\varnothing$

Ответ: (1;2), (0;3).