Question

Ребят,помогите пожалуйста решить 4 номера, очень надо, ничего не понимаю​

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

прикрепляю во вложении

Answer 2

1. Вычислите:

а) $\lg 0,01 - \log_{2}\dfrac{1}{4} + \ln e^{3} = \lg 10^{-2} - \log_{2}2^{-2} + \ln e^{3} =$

$= -2 - (-2) + 3 = 3$

б) $\dfrac{\left(25^{\log_{5}(\sqrt{3}-1)} + 9^{\log_{3}(\sqrt{3}+1)} \right)\log_{3}5}{\log_{3}625} =$

$= \dfrac{\left(5^{2\log_{5}(\sqrt{3}-1)} + 3^{2\log_{3}(\sqrt{3}+1)} \right)\log_{3}5}{\log_{3}5^{4}} =$

$= \dfrac{\left(5^{\log_{5}(\sqrt{3}-1)^{2}} + 3^{\log_{3}(\sqrt{3}+1)^{2}} \right)\log_{3}5}{4\log_{3}5} =$

$= \dfrac{(\sqrt{3} - 1)^{2} + (\sqrt{3} + 1)^{2}}{4} = \dfrac{8}{4}=2$

2. Решите уравнение:

а) $8 \cdot \left(\dfrac{9}{4} \right)^{x} - 30 \cdot \left(\dfrac{3}{2} \right)^{x} + 27 = 0$

$8 \cdot \left(\dfrac{3^{2}}{2^{2}} \right)^{x} - 30 \cdot \left(\dfrac{3}{2} \right)^{x} + 27 = 0$

$8 \cdot \left(\dfrac{3}{2} \right)^{2x} - 30 \cdot \left(\dfrac{3}{2} \right)^{x} + 27 = 0$

Замена: $\left(\dfrac{3}{2} \right)^{x}=t, \ t > 0$

Характеристическое уравнение:

$8t^{2} - 30t + 27 = 0$

$t_{1,2}= \dfrac{-(-30) \pm \sqrt{(-30)^{2} - 4 \cdot 8 \cdot 27}}{2 \cdot 8} = \dfrac{30 \pm 6}{16} = \displaystyle \left [ {{x_{1} = \dfrac{3}{2} } \atop {x_{2}=\dfrac{9}{4} }} \right.$

Обратная замена:

$\displaystyle \left [ {{\left(\dfrac{3}{2} \right)^{x} = \dfrac{3}{2} } \atop {\left(\dfrac{3}{2} \right)^{x} = \dfrac{9}{4} }} \right. \ \ \ \ \ \displaystyle \left [ {{\left(\dfrac{3}{2} \right)^{x} = \left(\dfrac{3}{2}\right)^{1} } \atop {\left(\dfrac{3}{2} \right)^{x} = \left(\dfrac{3}{2}\right)^{2} }} \right.\ \ \ \ \ \ \left [ {{x_{1}=1} \atop {x_{2}=2}} \right.$

Ответ: 1; 2.

б) $\log_{2}x + 6\log_{4}x + 9\log_{8}x = 14$

$\log_{2}x + 6\log_{2^{2}}x + 9\log_{2^{3}}x = 14$

$\log_{2}x + 6 \cdot \dfrac{1}{2} \log_{2}x + 9 \cdot \dfrac{1}{3} \log_{2}x = 14$

$\log_{2}x + 3\log_{2}x + 3\log_{2}x = 14$

$7\log_{2}x = 14$

$\log_{2}x = 2$

$x = 2^{2} = 4$

Ответ: 4.

3. Решите неравенство:

а) $\left(\dfrac{1}{3} \right)^{x+2} + 5 \cdot \left(\dfrac{1}{3} \right)^{x+1} - \left(\dfrac{1}{3} \right)^{x} < 7$

$\left(\dfrac{1}{3} \right)^{x} \cdot \left(\left(\dfrac{1}{3} \right)^{2} + 5 \cdot \left(\dfrac{1}{3} \right)^{1} - 1 \right) < 7$

$\left(\dfrac{1}{3} \right)^{x} \cdot \left(\dfrac{1}{9} + \dfrac{5}{3} - 1 \right) < 7$

$\left(\dfrac{1}{3} \right)^{x} \cdot \dfrac{7}{9} < 7$

$\left(\dfrac{1}{3} \right)^{x} < 9$

$\left(\dfrac{1}{3} \right)^{x} < \left(\dfrac{1}{3} \right)^{-2}$

Функция $y = \left(\dfrac{1}{3} \right)^{x}$ убывающая, поэтому знак неравенства нужно изменить на противоположный.

$x > -2$

Ответ: $x \in (-2; \ +\infty)$

б) $(\log_{2}x)^{2} - 2\log_{2}x - 3 \leqslant 0$

Здесь $x> 0$

Замена: $\log_{2}x = t$

Характеристическое уравнение:

$t^{2} - 2t - 3 \leqslant 0$

$(t+1)(t-3)\leqslant 0$

$-1 \leqslant t \leqslant 3$

Обратная замена:

$-1 \leqslant \log_{2}x \leqslant 3$

$\log_{2}\dfrac{1}{2} \leqslant \log_{2}x \leqslant \log_{2}8$

Функция $y = \log_{2}a$ возрастающая, поэтому знаки неравенств остаются неизменными.

$\dfrac{1}{2} \leqslant x \leqslant 8$

Ответ: $x \in \left[\dfrac{1}{2}; \ 8 \right]$

4. Докажите числовое равенство $\log_{9}(6\sqrt{6} - 15)^{2} + \log_{27}(6\sqrt{6} + 15)^{3} = 2.$

Доказательство.

Применим следующие свойства логарифмов:

$1) \log_{a}b^{k} = k\log_{a}b \\2) \log_{a^{k}}b = \dfrac{1}{k}\log_{a}b \\3) \log_{a}b + \log_{a}c = \log_{a}(bc)\\4^{*}) \log_{a}b^{2n} = 2n\log_{a}|b|, \ n \in Z$

Получаем:

$\log_{9}(6\sqrt{6} - 15)^{2} + \log_{27}(6\sqrt{6} + 15)^{3} = 2\log_{3^{2}}|6\sqrt{6} - 15| + 3\log_{3^{3}}(6\sqrt{6} + 15) =\\= 2 \cdot \dfrac{1}{2} \log_{3}(15 - 6\sqrt{6}) + 3 \cdot \dfrac{1}{3} \log_{3}(6\sqrt{6} + 15) = \log_{3}(15 - 6\sqrt{6})+\log_{3}(6\sqrt{6} + 15)=\\= \log_{3}\left[(15 - 6\sqrt{6})(6\sqrt{6} + 15) \right] = \log_{3}(15^{2} - 36 \cdot 6) = \log_{3}9 = 2$

Числовое равенство доказано.