Question

Вычислите дуги кривой. вышмат. С решением

Answer 1

$x'_t=3cos^2t\cdot(-sint)\\ y'_t=3sin^2t\cdot cost\\ L=\int\limits_0^\pi \sqrt{(3cos^2t\cdot(-sint))^2+(3sin^2t\cdot cost)^2}dt=3\int\limits_0^\pi \sqrt{cos^4t\cdot sin^2t+sin^4t\cdot cos^2t}dt=3\int\limits_0^\pi \sqrt{cos^2t\cdot sin^2t(cos^2t+sin^2t)}dt=3\int\limits_0^\pi \sqrt{cos^2t\cdot sin^2t}dt=3\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{cos^2t\cdot sin^2t}dt+3\int\limits_{\frac{\pi}{2}}^\pi \sqrt{cos^2t\cdot sin^2t}dt=$$=3\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} cost\cdot sintdt-3\int\limits_{\frac{\pi}{2}}^\pi cost\cdot sint dt=\dfrac{3}{4}\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} sin2td(2t)-\dfrac{3}{4}\int\limits_{\frac{\pi}{2}}^\pi sin2t d(2t)=\dfrac{3}{4}((-cos2t)|_0^{\frac{\pi}{2}}-(-cos2t)|_{\frac{\pi}{2}}^\pi)=\dfrac{3}{4}((1+1)-(-1-1))=3$