Question

Найдите площадь фигуры, ограниченной линией, заданной уравнением в полярной системе координат. В ответ введите множитель при числе pi
r= 2(1+cosφ)

Answer 1

2(1+cosφ)≥2(1-1)=0, а значит φ принимает все значения от 0 до 2π.

Тогда площадь фигуры вычисляется по формуле

$S=\dfrac{1}{2}\int\limits_0^{2\pi} r^2d\phi=\dfrac{1}{2}\int\limits_0^{2\pi} (2(1+cos\phi))^2d\phi=2\int\limits_0^{2\pi} (1+2cos\phi+cos^2\phi)d\phi=2\phi|_0^{2\pi}+4sin\phi|_0^{2\pi}+\int\limits_0^{2\pi} (1+cos2\phi)d\phi=4\pi+0+\phi|_0^{2\pi}+\dfrac{1}{2}\int\limits_0^{2\pi} cos2\phi d(2\phi)=4\pi+2\pi+\dfrac{1}{2}sin2\phi|_0^{2\pi}=6\pi+0=6\pi$

Ответ: 6