Question

Помогите!!!
Решите уравнение cos 4 x + √ 3 sin 4 x = 1 введением вспомогательного аргумента.

Answer 1

делаем замену:

$4x=a$

получим:

$cosa+\sqrt{3}*sina=1$

поделим обе части уравнения на 2:

$\frac{1}{2} cosa+\frac{\sqrt{3}}{2} *sina=\frac{1}{2}$

заметим, что:

$sin(\frac{\pi}{3})=\frac{\sqrt{3}}{2}\\cos(\frac{\pi}{3})=\frac{1}{2}$

тогда:

$cos(\frac{\pi}{3})*cosa+sin(\frac{\pi}{3})*sina=\frac{1}{2}$

свернем по формуле косинус разности двух углов:

$cos(\frac{\pi}{3}-a)=\frac{1}{2}$

обратная замена:

$cos(\frac{\pi}{3}-4x)=\frac{1}{2}$

решаем:

$\frac{\pi}{3}-4x_1=\frac{\pi}{3} +2\pi n\\4x_1=-2\pi n\\x_1=-\frac{\pi n}{2},\ n \in Z\\\frac{\pi}{3}-4x_2=-\frac{\pi}{3} +2\pi n\\4x_2=\frac{2\pi}{3} -2\pi n\\x_2=\frac{\pi}{6} -\frac{\pi n}{2} ,\ n \in Z$

Ответ: $x=\left[\begin{array}{cc}\frac{\pi}{6} -\frac{\pi n}{2}\\-\frac{\pi n}{2}\end{array}\right., n \in Z$