Question

задание
1. Дан правильный тетраэдр SABC . Выполните рисунок.
Найдите:
а) косинус угла между прямой SA и плоскостью ABC .
b) косинус угла между плоскостями SAC и ABC . Известно, что длина ребра 6 см.

Answer 1

Ответ:

a) $\frac{\sqrt{3} }{3}$;   b) $\frac{1}{3}$

Объяснение:

Смотри прикреплённый рисунок.

Пусть а = 6 - ребро тетраэдра

a) В основании АВС проведём высоту АЕ ⊥ ВС.    АЕ = 0,5а√3;

Опустим высоту SO на плоскость АВС.

$AO=\frac{2}{3} AE = \frac{2}{3}\cdot a\frac{\sqrt{3} }{2} = \frac{a\sqrt{3} }{3}$.

Угол между прямой SA и плоскостью АВС есть угол SAO

$cos \angle SAO = \frac{AO}{AS} = \frac{a\sqrt{3} }{3} : a = \frac{\sqrt{3} }{3}$.

b) В основании АВС проведём высоту BK ⊥ AС.    BK = 0,5а√3;

Опустим высоту SO на плоскость АВС.

$KO= \frac{1}{2} BK = \frac{1}{3}\cdot \frac{a\sqrt{3} }{2} =\frac{a\sqrt{3} }{6}$

Проведём в грани SAC апофему SK = 0,5а√3

Угол между плоскостями SAC и АВС есть угол SKO между апофемой SK и высотой основания ВК как угол между двумя перпендикулярами, восставленными из точки К к линии пересечения АС плоскостей  SAC и АВС

$cos\angle SKO = \frac{KO}{SK}= \frac{a\sqrt{3} }{6}: \frac{a\sqrt{3} }{2} =\frac{1}{3}$