Question

решить уравнение, 33 балла!
$\sqrt{ \sin(x) - 2 \sin ^{2} (x) } = \sqrt{1 - 2 \sin(x) }$
с решением,пожалуйста.​

Answer 1

$\sqrt{\sin x - 2\sin^{2}x} = \sqrt{1 - 2\sin x}$

$\sqrt{\sin x (1 - 2\sin x)} = \sqrt{1 - 2\sin x}$

Сделаем замену: $1 - 2\sin x = t$, откуда $\sin x = \dfrac{1-t}{2}$

Имеем:

$\sqrt{\dfrac{(1 - t)t}{2} } = \sqrt{t}$

Запишем ОДЗ:

$\left\{\begin{array}{ccc}t \geq 0, \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \\\dfrac{(1 - t)t}{2} \geq 0 \\\end{array}\right$

Найдем решение каждого неравенства:

$1) \ t \in [0; \ +\infty)$

$2) \ t \in [0; \ 1]$ (для решения данного неравенства используйте метод интервалов).

Следовательно, итоговое ОДЗ: $t \in [0; \ 1]$

Вернемся к уравнению. Возведем обе части уравнения в квадрат:

$\left(\sqrt{\dfrac{(1 - t)t}{2} }\right)^{2} = \left(\sqrt{t}\right)^{2}$

$\dfrac{t - t^{2}}{2} = t\\t - t^{2} = 2t\\t^{2} + t = 0\\t(t + 1) = 0\\\left[\begin{array}{ccc}t = 0, \ \ \\t = -1\\\end{array}\right$

Корень $t =-1$ не удовлетворяет ОДЗ, поэтому имеем только $t = 0$

Сделаем обратную замену:

$1 - 2\sin x = 0\\\\\sin x = \dfrac{1}{2} \\\\x = (-1)^{n} \dfrac{\pi}{6} + \pi n, \ n \in Z$

Ответ: $x = (-1)^{n} \dfrac{\pi}{6} + \pi n, \ n \in Z$

Примечание. Ответ можно записать в другой форме.

Поскольку $\sin x = \sin (\pi - x)$, то уравнение $\sin x = \dfrac{1}{2}$ имеет два решения, а именно:

$\left[\begin{array}{ccc}\sin x = \dfrac{1}{2}, \ \ \ \ \ \ \ \\\sin (\pi - x) = \dfrac{1}{2} \\\end{array}\right$

$\left[\begin{array}{ccc}x = \arcsin \dfrac{1}{2} + 2\pi n, \ n \in Z \ \ \ \ \ \\\pi - x = \arcsin \dfrac{1}{2} + 2\pi n, \ n \in Z\\\end{array}\right$

$\left[\begin{array}{ccc}x = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi n, \ n \in Z \ \ \ \ \ \ \\\pi - x = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi n, \ n \in Z \\\end{array}\right$

$x = \left\{\begin{array}{ccc}\dfrac{\pi}{6} + 2\pi n \\ \\\dfrac{5\pi}{6} + 2\pi n \\\end{array}\right, \ n \in Z$