Question

Найдите множество значений:
y=(x-4)(x-6)+3

Answer 1

$y = (x - 4)(x - 6) + 3 = x^{2} - 10x + 24 + 3 = x^{2} - 10x + 27$ — квадратичная функция, графиком которой является парабола с ветвями, направленными вверх. Следовательно, областью значений данной параболы будет от ординаты вершины до бесконечности.

Найдем ординату точки вершины данной параболы.

1 способ. С помощью формулы:

Для функции $y = ax^{2} + bx + c$ ордината вершины высчитывается по формуле $y_{0} = \dfrac{4ac - b^{2}}{4a}$. Значит, $y_{0} = \dfrac{4\cdot 1\cdot 27 - (-10)^{2}}{4\cdot 1} = \dfrac{108 - 100}{4} = \dfrac{8}{4} = 2$

2 способ. Зная абсциссу, найти ординату, подставив абсциссу в функцию:

$x_{0} = \dfrac{-b}{2a} = \dfrac{10}{2} = 5$

$y _{0} = 5^{2} - 10 \cdot 5 + 27 = 25 - 50 + 27 = 2$

Таким образом, $E(y): \ y \in \left[2; \ +\infty \right)$

Ответ: $y \in \left[2; \ +\infty \right)$