Question

1) Известно, что для некоторого натурального числа n каждое из чисел 3n - 1 и n -10 делиться на простое число p. Найдите число p.
2) В клетках таблицы 3 на 3 Петя расставил числа 1,2,3..9 (каждое по одному разу), а затем посчитал суммы в каждой строке, в каждом столбце и в каждой из двух диагоналей. Могли ли это оказаться числа 13, 14...20?

Answer 1

1) Если каждое из чисел 3n - 1 и n - 10 делится на простое число p, то и 3n-1-3(n-10)=3n-1-3n+30=29 делится на p. Т.к. 29 простое, то p=29.

2) Сумма всех чисел в таблице равна (1+9)*9/2=45

Если сложить все суммы из условия, мы получим 2*(сумма всех чисел в таблице) + (сумма элементов на двух диагоналях [центральный элемент посчитан 2 раза - по разу для каждой диагонали])

Эта сумма равна (13+20)*8/2=33*4=132

Тогда (сумма элементов на двух диагоналях) = 132-2*45=132-90=42.

Но это больше, чем сумма двух чисел из представленных в условии, т.к. 20+19=39<42.

А значит ответ "нет, не могли"