Question

Решите уравнение.
Мне нужно решить (а).

Answer 1

Объяснение:

а)

преобразуем

$\sin(x) + \cos(x) = \frac{2}{ \sqrt{2} }$

возведем в квадрат левую и правую часть с учётом sin(x)+cos(x)>0

${\sin}^{2} (x) + 2 \sin(x) \cos(x) + { \cos}^{2} (x) = 2 \\ 1 + 2 \sin(x) \cos(x) = 2 \\ \sin(2x) = 1 \\ 2x = \frac{\pi}{2} + 2n\pi \\ x = \frac{\pi}{4} + n\pi$

так как при n=2k+1, sin(x)+cos(x)<0, то получаем

$x = \frac{\pi}{4} + 2n\pi$

б) аналогично примеру а) возводим в квадрат правую и левую части и получаем

$1 + 2 \sin(x) \cos(x) = 1 \\ \sin(2x) = 0 \\ 2x = n\pi \\ x = \frac{\pi}{2} n$

так как при n=4k+2 и n=4k+3 получаем отрицательные значения sin(x)+cos(x), а точнее равное -1

то решение можно представить в виде:

$x = \frac{\pi}{2} \times 4k = 2k\pi \\ x = \frac{\pi}{2} \times (4k + 1) = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$

Answer 2

sin(α+β) = sin(α)·cos(β) + cos(α)·sin(β)

$sin\dfrac{\pi}{4}=cos\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt2}{2}\\ sinx\cdot cos\dfrac{\pi}{4}+cosx\cdot sin\dfrac{\pi}{4}=1\\ sin(x+\dfrac{\pi}{4})=1\\ x+\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\pi}{2}+2\pi n,n\in Z\\ x=\dfrac{\pi}{4}+2\pi n,n\in Z$