Методом Гаусса и методом алгебраических дополнений найдите матрицу,обратную к А ,если
матрица :
1 -1 -2
-1 2 2
1 -3 -1
(Хочу проверить себя) решите пожалуйста
Ответы
Вычисление определителя методом Гаусса.
Запишем матрицу в виде:
1 -1 -2
-1 2 2
1 -3 -1.
Работаем со столбцом №1.
Добавим 3-ю строку к 2-й:
1 -1 -2
-1 2 2
0 -1 1.
Добавим 2-ю строку к 1-й:
1 -1 -2
0 1 0
0 -1 1.
Работаем со столбцом №2.
Добавим 3-ю строку к 2-й:
1 -1 -2
0 1 0
0 0 1.
Ранг матрицы равен r=3.
Определитель матрицы ∆ = 1 • 1 • 1 = 1.
Метод алгебраических дополнений.
A = 1 -1 -2
-1 2 2
1 -3 -1
Найдем детерминант матрицы А:
Воспользуемся формулой для вычисления определителя матрицы 3×3:
det A = 1 -1 -2
-1 2 2
1 -3 -1 = 1•2•(-1) + (-1)•2•1 + (-2)•(-1)•(-3) - (-2)•2•1 - 1•2•(-3) - (-1)•(-1)•(-1) = -2 - 2 - 6 + 4 + 6 + 1 = 1.
Определитель матрицы А отличен от нуля, следовательно обратная матрица A-1 существует. Для вычисления обратной матрицы найдем дополнительные миноры и алгебраические дополнения матрицы А
• Найдем минор M11 и алгебраическое дополнение A11. В матрице А вычеркиваем строку 1 и столбец 1.
M11 = 2 2
-3 -1 = 2•(-1) - (-3)•2 = -2 + 6 = 4.
Матрица A11 = (-1)1+1M11 = 4.
• Найдем минор M12 и алгебраическое дополнение A12. В матрице А вычеркиваем строку 1 и столбец 2.
M12 = -1 2
1 -1 = (-1)•(-1) - 1•2 = 1 - 2 = -1.
Матрица A12 = (-1)1+2M12 = 1.
• Найдем минор M13 и алгебраическое дополнение A13. В матрице А вычеркиваем строку 1 и столбец 3.
M13 = -1 2
1 -3 = (-1)•(-3) - 1•2 = 3 - 2 = 1.
Матрица A13 = (-1)1+3M13 = 1.
• Найдем минор M21 и алгебраическое дополнение A21. В матрице А вычеркиваем строку 2 и столбец 1.
M21 = -1 -2
-3 -1 = (-1)•(-1) - (-3)•(-2) = 1 - 6 = -5.
Матрица A21 = (-1)2+1M21 = 5.
• Найдем минор M22 и алгебраическое дополнение A22. В матрице А вычеркиваем строку 2 и столбец 2.
M22 = 1 -2
1 -1 = 1•(-1) - 1•(-2) = -1 + 2 = 1.
Матрица A22 = (-1)2+2M22 = 1.
• Найдем минор M23 и алгебраическое дополнение A23. В матрице А вычеркиваем строку 2 и столбец 3.
M23 = 1 -1
1 -3 = 1•(-3) - 1•(-1) = -3 + 1 = -2.
Матрица A23 = (-1)2+3M23 = 2.
• Найдем минор M31 и алгебраическое дополнение A31. В матрице А вычеркиваем строку 3 и столбец 1.
M31 = -1 -2
2 2 = (-1)•2 - 2•(-2) = -2 + 4 = 2.
Матрица A31 = (-1)3+1M31 = 2.
• Найдем минор M32 и алгебраическое дополнение A32. В матрице А вычеркиваем строку 3 и столбец 2.
M32 = 1 -2
-1 2 = 1•2 - (-1)•(-2) = 2 - 2 = 0.
Матрица A32 = (-1)3+2M32 = 0.
• Найдем минор M33 и алгебраическое дополнение A33. В матрице А вычеркиваем строку 3 и столбец 3.
M33 = 1 -1
-1 2 = 1•2 - (-1)•(-1) = 2 - 1 = 1.
Матрица 33 = (-1)3+3M33 = 1.
Выпишем союзную матрицу (матрицу алгебраических дополнений):
C* = 4 1 1
5 1 2
2 0 1
Транспонированная союзная матрица:
C*T = 4 5 2
1 1 0
1 2 1
Найдем обратную матрицу:
A-1 = C*T/det A = 4 5 2
1 1 0
1 2 1.
Так как не все знаки удалось воспроизвести, то во вложении есть копия решения со всеми знаками.