Question

Найти решение линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

у"-3y'+2y=(2х+5)e^3x

Answer 1

Составим характеристическое уравнение:

$\lambda^2-3\lambda+2=0=>\lambda=2\;\;\;\;\;\;\;\;\lambda=1\\ x_{oo}=C_1e^{2x}+C_2e^x$

Будем искать частное решение в виде $y=(Ax+B)e^{3x}$

$y'=Ae^{3x}+3(Ax+B)e^{3x}=(A+3B)e^{3x}+3Axe^{3x}\\y''=3Ae^{3x}+3((A+3B)e^{3x}+3Axe^{3x})=(6A+9B)e^{3x}+9Axe^{3x}\\ (6A+9B)e^{3x}+9Axe^{3x}-3((A+3B)e^{3x}+3Axe^{3x})+2(Ax+B)e^{3x}=(2x+5)e^{3x}\\ (6A+9B-3A-9B+2B)e^{3x}+(9A-9A+2A)xe^{3x}=(2x+5)e^{3x}\\ (3A+2B)e^{3x}+2Axe^{3x}=(2x+5)e^{3x}\\ 2A=2=>A=1=>3+2B=5=>B=1=>\\ y_{r_H}=(x+1)e^{3x}\\ y_o=C_1e^{2x}+C_2e^x+(x+1)e^{3x}$