Question

Укажите, при каких х имеют смысл дроби, и сократите их:

Answer 1

Объяснение:

$1) \frac{\sqrt{(x+2)^2-8x} }{\sqrt{2-x} }=\frac{\sqrt{x^2+4x+4-8x} }{\sqrt{2-x}}=\frac{\sqrt{x^2-4x+4} }{\sqrt{-(x-2)}}=\frac{\sqrt{(x-2)^2}}{\sqrt{-(x-2)}}=\sqrt{\frac{(x-2)^2}{-(x-2)} }=\sqrt{-(x-2)}=\sqrt{2-x}.$

Дробь имеет смысл в том случае, когда 2 - x > 0 (поскольку числитель неотрицателен, то корень в числителе имеем смысл всегда, а знаменатель требует два условия: 1) под корнем должно быть неотрицательное число, 2) знаменатель не должен быть равен 0).  Из неравенства получаем, что x < 2 - только при таких значениях х дробь имеет смысл.

2) Дробь имеем смысл в том случае, когда -x ≥ 0 ⇒ x ≤ 0. Условие того, что знаменатель не должен равняться 0, требовать необязательно, поскольку нет таких значений х, при которых знаменатель обнуляется. Итого дробь имеем смысл при всех x ≤ 0.

Упрощать выражение будем следующим образом: и числитель, и знаменатель домножаем на сопряженное знаменателю выражение 2 - 5√-х:

$\frac{4+25x}{2+5\sqrt{-x}}=\frac{(4+25x)(2-5\sqrt{-x}}{(2+5\sqrt{-x})(2-5\sqrt{-x})} =\frac{(4+25x)(2-5\sqrt{-x})}{2^2-(5\sqrt{-x})^2} =\frac{(4+25x)(2-5\sqrt{-x})}{4-25\cdot(-x)}=\frac{(4+25x)(2-5\sqrt{-x})}{4+25x}=2-5\sqrt{-x}.$

Answer 2

$1)\; \; y=\frac{\sqrt{(x+2)^2-8x}}{\sqrt{2-x}}\\\\OOF:\; \left \{ {{2-x\geq 0\; ,} \atop {2-x\ne 0}} \right.\; \; \to \; \; 2-x>0\; ,\; \; \boxed {x<2}\\\\\frac{\sqrt{(x+2)^2-8x}}{\sqrt{2-x}}=\sqrt{\frac{x^2+4x+4-8x}{2-x}}=\sqrt{\frac{4-4x+x^2}{2-x}}=\sqrt{\frac{(2-x)^2}{2-x}}=\sqrt{2-x}$

$2)\; \; y=\frac{4+25x}{2+5\sqrt{-x}}\\\\OOF:\; \; \left \{ {{2+5\sqrt{-x}\ne 0\; ,} \atop {-x\geq 0\qquad \; \; }} \right.\; \; \to \; \; -x\geq 0\; \; ,\; \; \boxed {x\leq 0}\\\\\\\frac{4+25x}{2+5\sqrt{-x}}=\frac{(4+25x)(2-5\sqrt{-x})}{(2+5\sqrt{-x})(2-5\sqrt{-x})}=\frac{(4+25x)(2-5\sqrt{-x})}{4-5^2(\sqrt{-x})^2}=\frac{(4+25x)(2-5\sqrt{-x})}{4-25\cdot (-x)}=\\\\=\frac{(4+25x)(2-5\sqrt{-x})}{4+25x}=2-5\sqrt{-x}$