Построить график функции y=(1-2x^3)/x^2 с вертикальным и наклонным асимптотами, найти точки разрыва и определить точки возрастания и убывания функции
Ответы
Функция y=〖1-2x〗^3/x^2
Таблица точек
x y
-3.0 6.1
-2.5 5.2
-2.0 4.3
-1.5 3.4
-1.0 3
-0.5 5
0 -
0.5 3
1.0 -1
1.5 -2.6
2.0 -3.7
2.5 -4.8
3.0 -5.9
1. Область определения функции - вся числовая ось: D(f) = R, х ≠ 0.
2. Функция f (x) = 〖1-2x〗^3/x^2 непрерывна на всей области определения.
Точка, в которой функция точно не определена (разрыв функции): х ≠ 0.
Область значений функции приведена в пункте 5.
3. Точки пересечения с осью координат Ох.
График функции пересекает ось Ох при f = 0, значит надо решить уравнение:
〖1-2x〗^3/x^2 =0.
Достаточно для дроби приравнять нулю числитель и проверить, не превращается ли в 0 знаменатель при найденных корнях.
Приравниваем нулю: 1 - 2х^3 = 0, x^3 = ½, x=1/∛2≈ 0,793701.
4. Точки пересечения с осью координат Оу.
График пересекает ось Oy, когда x равняется 0.
Так как для данной функции переменная х не может быть равна 0, то график не пересекает ось Оу.
5. Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
y’ = 0 (производная равна нулю), и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
(〖1-2x〗^3/x^2 )^'=(1/x^2 -2x)^'=(x^(-2)-2x)^'=(-2)*x^(-3)-2=-2/x^3 -2=(〖-2x〗^3-2)/x^3 =0.
Решаем это уравнение и его корни будут экстремумами (достаточно нулю приравнять числитель): 〖-2x〗^3-2 = 0, x=-∛1=-1.
Получаем один корень этого уравнения и это - точка, в которой возможен экстремум: x=-1.
Эта точка делит область определения функции на 2 промежутка, а с учётом точки разрыва функции при х = 0 получаем 3 промежутка монотонности функции:
x ϵ (-∞; -1) U (-1;0)) U (0; +∞).
На промежутках находим знаки производной.
Находится производная, приравнивается к 0, найденные точки выставляются на числовой прямой; к ним добавляются те точки, в которых производная не определена.
Где производная положительна - функция возрастает, где отрицательна - там убывает. Точки, в которых происходит смена знака и есть точки экстремума - где производная с плюса меняется на минус - точка максимума, а где с минуса на плюс - точки минимума.
x = -2 -1 -0,5 0 1
y' = -1,75 0 14 - -4
Минимум функции в точке х = -1 ,
Максимума функции нет.
Возрастает на промежутке: (-1; 0).
Убывает на промежутках: (-∞; -1) и (0; +∞).
Наличие точки разрыва функции первого рода требует определения предела функции при приближении к точке х = 0.
Находим пределы при х→0_(-0) и х→0_(+0).
lim┬(x→-0)〖〖1-x〗^(3 )/x^2 =∞〗.
Так как в точке х = 0 функция терпит бесконечный разрыв, то прямая, заданная уравнением х = 0, является вертикальной асимптотой графика.
Отсюда находим область значений функции - вся числовая ось: E(y) = R.
6. Точки перегибов графика функции:
Найдем точки перегибов для функции, для этого надо решить уравнение y''=0 - вторая производная равняется нулю, корни полученного уравнения будут точками перегибов указанного графика функции.
y^''=6/x^4 =0.
Это уравнение не имеет решения, поэтому у графика нет перегибов.
7. Интервалы выпуклости, вогнутости:
Так как вертикальная асимптота делит график на 2 части, а точек перегиба нет, то имеем 2 промежутка выпуклости функции:
x ϵ (-∞; 0) U (0; +∞).
Находим знаки второй производной на этих промежутках - где вторая производная меньше нуля, там график функции выпуклый, а где больше - вогнутый:
x = -1 1
y'' = 6 6
Как видим, график функции вогнутый на всех промежутках.
8. Асимптоты.
Вертикальная асимптота определилась в пункте 2, это прямая х = 0.
Горизонтальные асимптоты графика функции:
Горизонтальную асимптоту найдем с помощью предела данной функции при x->+∞ и x->-∞. Соотвествующие пределы находим:
lim┬(x→∞)〖(1-2x^3)/x^2 =-∞〗, значит, горизонтальной асимптоты справа не существует
lim┬(x→-∞)〖〖1-2x〗^3/x^2 =∞〗,, значит, горизонтальной асимптоты слева не существует.
Наклонные асимптоты графика функции
Уравнение наклонной асимптоты имеет вид y=kx+b. Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел данной функции, деленной на x при lim┬( x→±∞)〖(kx+b-f(x)).〗
Находим коэффициент k: k=lim┬(x→±∞)〖(f(x))/x.〗
k= lim┬(x→∞)〖〖1-2x〗^3/(x^2*x)=〖1-2x〗^3/x^3 =(1/x^3 -〖2x〗^3/x^3 )/(x^3/x^3 )=(0-2)/1=-2.〗
Коэффициент b: b=〖lim┬(x→±∞) (〗〖f(x)-kx).〗
〖b=lim〗┬( x→±∞)〖 〖1-2x〗^3/x^2 -2(-x)=(〖1-2x〗^3+〖2x〗^3)/x^2 =0.〗
Конечный вид асимптоты следующий: y=-2x.
9. Четность и нечетность функции:
Проверим функцию - четна или нечетна с помощью соотношений f(-x)=f(x) и f(-x)=-f(x). Итак, проверяем: f(-x)=〖1-2(-x)〗^3/(-x)^2 =〖1+2x〗^3/x^2 =-〖-1-2x〗^3/x^2 ≠f(x)≠-f(x).
3начит, функция не является ни чётной, ни чётной.
График функции приведен во вложении.