Question

Упростите выражение
$\displaystyle\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha} } +\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{1-\cos\alpha} }$

Answer 1

домножу первое подкоренное выражение на (1-cosa)- и числитель и знаменатель. тогда получу

(1-cos a)^2/(1-cos^2 a)=(1-cos a)^2/sin^2 a

первое слагаемое тогда равно (1-cos a)/|sin a|

второе слагаемое будет |sin a|/(1-cos a)

(1-cos a)/|sin a| + |sin a|/(1-cos a)=((1-cos a)^2+sin^2 a)/((1-cos a)|sin a|)=

=(1-2cos a+cos^2 a+sin^2 a)/((1-cos a)|sin a|)=(2-2cos a)/((1-cos a)|sin a|)=

=2/|sin a|

Answer 2

$\boxed {\; cos^2x=\frac{1+cos2x}{2}\; \; ,\; \; sin^2x=\frac{1-cos2x}{2}\; }\\\\\\\sqrt{\frac{1-cosa}{1+cosa}}+\sqrt{\frac{1+cosa}{1-cosa}}=\sqrt{\frac{2sin^2\frac{a}{2}}{2cos^2\frac{a}{2}}}+\sqrt{\frac{2cos^2\frac{a}{2}}{2sin^2\frac{a}{2}}}=\sqrt{tg^2\frac{a}{2}}+\sqrt{ctg^2\frac{a}{2}}=\\\\=|tg\frac{a}{2}|+|ctg\frac{a}{2}|\\\\\\P.S.\; \; 1-cosa=(sin^2\frac{a}{2}+cos^2\frac{a}{2})-(cos^2\frac{a}{2}-sin^2\frac{a}{2})=2sin^2\frac{a}{2}$

$1+cosa=(sin^2\frac{a}{2}+cos^2\frac{a}{2})+(cos^2\frac{a}{2}-sin^2\frac{a}{2})=2cos^2\frac{a}{2}\\\\\frac{1-cosa}{1+cosa}=\frac{2sin^2\frac{a}{2}}{2cos^2\frac{a}{2}}=tg^2\frac{a}{2}$