Решить методом Гауса
Ответы
1) Дана расширенная матрица:
2 −2 3 | 1
1 −4 −2 | 1
5 -3 8 | 4
Обозначим через aij элементы i-ой строки и j-ого столбца.
Первый этап. Прямой ход Гаусса.
Исключим элементы 1-го столбца матрицы ниже элемента a1,1. Для этого сложим строки 2 и 3 со строкой 1, умноженной на (-1/2) и (-5/2) соответственно:
2 -2 3 | 1
0 −3 -7/2 | 1/2
0 2 1/2 | 3/2
Исключим элементы 2-го столбца матрицы ниже элемента a2,2. Для этого сложим строку 3 со строкой 2, умноженной на (2/3):
2 −2 3 | 1
0 −3 −7/2 | 1/2
0 0 -11/6 | 11/6
Делим каждую строку матрицы на соответствующий ведущий элемент (если ведущий элемент существует):
1 −1 3 /2 | 1/2
0 1 7/6 | -1/6
0 0 1 | −1
Из расширенной матрицы восстановим систему линейных уравнений:
1 x − 1 y + (3/2)z = 1/2
0 x + 1 y + 7 /6 z = -1/6
0 x + 0y + 1 z = -1.
Базисные переменные x, y, z.
Имеем:
x = (1 /2) + 1·y − (3/2)·z,
y = (-1 /6) - (7/6)·z,
z = −1 .
Подставив нижние выражения в верхние, получим решение.
x = 3,
y = 1 ,
z = −1 .
2) Запишем заданную систему уравнений в матричном виде :
1 1 -1 | 0
8 3 -8 | -15
-4 -1 3 | 8
от 2 строки отнимаем 1 строку, умноженную на 8; к 3 строке добавляем 1 строку, умноженную на 4
1 1 -1 | 0
0 -5 0 | -15
0 3 -1 | 8
Вторую строку делим на -5
1 1 -1 | 3
0 1 0 | 3
0 3 -1 | 8
от 1 строки отнимаем 2 строку, умноженную на 1; от 3 строки отнимаем 2 строку, умноженную на 3
1 0 -1 | -3
0 1 0 | 3
0 0 -1 | -1
Третью строку делим на -1
1 0 -1 | -3
0 1 0 | 3
0 0 1 | 1
к 1 строке добавляем 3 строку, умноженную на 1
1 0 0 | -2
0 1 0 | 3
0 0 1 | 1
x = -2,
y = 3 ,
z = 1.