Question

исследовать на сходимость
5^n/n^4​

Answer 1

$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{5^n}{n^4}=\left[\dfrac{\infty}{\infty}\right]=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{ln5\cdot5^n}{4n^3}=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{ln^25\cdot5^n}{4\cdot3\cdot n^2}=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{ln^35\cdot5^n}{4\cdot3\cdot2\cdot n}=\\ \lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{ln^45\cdot5^n}{4\cdot3\cdot2}=\infty\neq 0$

Необходимое условие сходимости не выполнено, а значит ряд расходится

2 способ

$\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\dfrac{5^n}{n^4}}=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{\sqrt[n]{5^n}}{\sqrt[n]{n^4}}=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{5}{1}=5>1$

А значит ряд расходится по признаку Коши