Question

Решить уравнение x^2+(-1-4*i)*x-4+2*i=0

Answer 1

$x^{2} + (-1 - 4i)x - 4 + 2i = 0$

Первый способ:

$x^{2} + (-1 - 4i)x = 4 - 2i$

$x^{2} + 2\left(-\dfrac{1}{2} - 2i \right)x + \left(-\dfrac{1}{2} - 2i \right)^{2} - \left(-\dfrac{1}{2} - 2i \right)^{2} = 4 - 2i$

$\left(x -\dfrac{1}{2} - 2i \right)^{2} - \left(\dfrac{1}{4} + 2i + 4i^{2} \right) = 4 - 2i$

$\left(x -\dfrac{1}{2} - 2i \right)^{2} + \dfrac{15}{4} - 2i = 4 - 2i$

$\left(x -\dfrac{1}{2} - 2i \right)^{2} = \dfrac{1}{4}$

$\left[\begin{array}{ccc}x - \dfrac{1}{2} - 2i = \dfrac{1}{2}, \ \\ \\x - \dfrac{1}{2} - 2i = -\dfrac{1}{2}\\\end{array}\right$

$\left[\begin{array}{ccc}x = 1 + 2i, \\x = 2i \ \ \ \ \ \ \\\end{array}\right$

Второй способ:

$D = (-1 - 4i)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-4 + 2i) =1 + 8i +16i^{2} + 16 - 8i =\\= 1 - 16 + 16 = 1$

$x_{1, 2} = \dfrac{1 + 4i \pm 1}{2} = \left[\begin{array}{ccc}x = 1 + 2i, \\x = 2i \ \ \ \ \ \ \\\end{array}\right$

Ответ: $x = 2i; \ x = 1 + 2i$

Answer 2

Ответ: 2i; 1 + 2i

Пошаговое объяснение:

x² + (-1 - 4i)x - 4 + 2i = 0

x² + (-1 - 4i)x = 4 - 2i

Выделим в левой части полный квадрат.

$x^2 + 2(-\frac{1}{2} -2i)x = 4 - 2i$

Найдём необходимое слагаемое:

$(-\frac{1}{2} -2i)^2=(-\frac{1}{2} -2i)(-\frac{1}{2} -2i)=\frac{1}{4}+i+i+4i^2= \frac{1}{4}-4+2i$

Прибавим это слагаемое к левой и правой частям уравнения:

$x^2 + 2(-\frac{1}{2} -2i)x+\frac{1}{4}-4+2i = 4 - 2i+\frac{1}{4}-4+2i$

В результате в левой части собираем квадрат суммы (a+b)², а правую упрощаем:

$(x-\frac{1}{2} -2i)^2=\frac{1}{4}$

Решаем получившееся уравнение:

$x-\frac{1}{2} -2i=б\frac{1}{2}$

1 случай:

$x-\frac{1}{2} -2i=-\frac{1}{2}\\x_1=2i$

2 случай:

$x-\frac{1}{2} -2i=\frac{1}{2}\\x_2=1+2i$