Question

n^n/(n+1)!
исследовать на сходимость ряда​

Answer 1

По формуле Стирлинга $(n+1)! \sim \sqrt{2\pi (n+1)}\left(\dfrac{n+1}{e}\right)^{n+1}$

$\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\dfrac{n^n}{(n+1)!}} =\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n}{\sqrt[n]{\sqrt{2\pi (n+1)}\left(\dfrac{n+1}{e}\right)^{n+1}}}=\\ \lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n}{\dfrac{n+1}{e}\sqrt[n]{\sqrt{2\pi (n+1)}\left(\dfrac{n+1}{e}\right)}}=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n\cdot e}{(n+1)\cdot1}}=e\cdot\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n}{n+1}=e>1$

Тогда ряд расходится по признаку Коши

Вариант 2

$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{(n+1)^{n+1}(n+1)!}{(n+2)!n^n}=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{(n+1)(n+1)^{n}}{(n+2)n^n}=\\ \lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n+1}{n+2}\cdot\left(\dfrac{n+1}{n}\right)^n=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n=e>1$

Тогда ряд расходится по признаку Даламбера