При каких значениях параметра а уравнение (a+5)x^2 + (2a-3)x+(a-10)=0 имеет корни одного знака
На листочке и подробно, пожалуйста. Очень хочу разобраться
Ответы
Дано уравнение (a + 5)x^2 + (2a - 3)x + (a - 10) = 0.
При каких значениях параметра а оно имеет корни одного знака?
1) Если a = -5, то коэффициент при x^2 равен нулю и мы получаем просто линейное уравнение, у которого только 1 корень.
Значит, а ≠ -5.
2) Поделим все уравнение на (а + 5) чтобы получить приведенное уравнение.
x^2 + ((2a - 3)/(a + 5))x + ((a - 10)/(a + 5)) = 0.
Квадратное уравнение имеет корни один. знаков , тогда произведение этих корней должно быть положительно, а значит и по теореме Виета свободный член должен быть положительным , то есть:
(a - 10)/(a + 5) > 0.
Числитель и знаменатель должны быть одного знака.
Получаем при наложении промежутков: a > 10, a < -5.
Дополним еще условием существования 2-х корней: D > 0.
4a² - 12a + 9 - 4a² - 20a + 40a + 200 > 0,
8a + 209 > 0,
a > -209/8.
Пересекаем полученные решения, получаем ответ:
а ∈ ((-209/8); -5) ∪ (10; +∞)).