Question

В треугольнике АВС со сторонами АВ=6 см, АС=8 см и ВС=10 см точка М - середина стороны ВС. Четырехугольник AMDE - квадрат. Отрезки АС и MD пересекаются в точке F. Чему равна площадь четырехугольника AFDE?

Answer 1

Ответ:    125/8 см²

Пошаговое объяснение:

Треугольник со сторонами 6 см, 8 см и 10 см - прямоугольный, так как по теореме, обратной теореме Пифагора

10² = 6² + 8²

Медиана, проведенная к гипотенузе в прямоугольном треугольнике, равна половине гипотенузы,

АМ = ВС/2 = 5 см

Чтобы найти площадь четырехугольника AFDE, надо из площади квадрата AMDE вычесть площадь треугольника AMF.

Из ΔАВС:

  cos∠C = AC / BC = 8/10 = 4/5

Пусть FC = х, тогда АС = 8 - х.

Из ΔFCM по теореме косинусов:

MF² = MC² + FC² - 2·MC·FC·cos∠C

MF² = 25 + x² - 2 · 5 · x · 4/5 = x² - 8x + 25

Из прямоугольного треугольника AMF по теореме Пифагора составим уравнение:

AM² + MF² = AF²

25 + x² - 8x + 25 = (8 - x)²

x² - 8x + 50 = 64 - 16x + x²

8x = 14

x = 7/4

$MF=\sqrt{x^{2}-8x+25}=\sqrt{(\frac{7}{4})^{2}-8\cdot \frac{7}{4}+25}$

$MF=\sqrt{\frac{49}{16}-14+25}=\sqrt{\frac{49}{16}+11}=\sqrt{\frac{49+176}{16}}=\sqrt{\frac{225}{16}}=\frac{15}{4}$

Samf = 1/2 · AM · MF = 1/2 · 5 · 15/4 = 75/8 см²

Safde = Samde - Samf = AM² - Samf = 25 - 75/8 = 125/8 см²