Question

Сколько существует треугольников, вершинами которого являются вершины куба, и при этом не все вершины треугольника лежат на одной грани куба?

Answer 1

Никакие 3 вершины куба не лежат на одной прямой. А значит любые 3 вершины задают треугольник.

Всего вершин у куба 8, у треугольника 3. Тогда общее число треугольников равно числу сочетаний из 8 элементов по 3: 8!/(3!(8-3)!)=6*7*8/(1*2*3)=7*8=56

На одной грани куба 4 вершины. Тогда на каждой грани можно построить 4!/(3!(4-3)!)=4/1=4 треугольника. Всего граней 6, тогда неподходящих треугольников 6*4=24.

Тогда искомое кол-во 56-24=32