Question

Математика срочно!!! Исследуйте последовательность на ограниченность:
sin6/6; −sin7/7; sin8/8; −sin9/9... заданная последовательность (выберите один вариант):
неограниченная
ограничена снизу
ограничена сверху
ограниченная

Answer 1

$\{a_n\}=(-1)^{n+1}\dfrac{sin(n+5)}{n+5}\\ -1=-1*1\leq (-1)^{n+1}sin(n+5)\leq 1*1=1$

$( \dfrac{1}{n+5})'=- \dfrac{1}{(n+5)^2}<0$, значит $\dfrac{1}{n+5}$ монотонно убывает.

Тогда $\lim\limits_{n\to\infty} \dfrac{1}{n+5}\leq \dfrac{1}{n+5} \leq \dfrac{1}{1+5}\; \forall\;n\in N\\ 0\leq \dfrac{1}{n+5}\leq \dfrac{1}{6}$

Значит $-\dfrac{1}{6}\leq a_n\leq \dfrac{1}{6} \;\forall\;n\in N$, т.е. последовательность ограниченная