Question

Найдите реальную часть комплексного числа (1+i)^30

Answer 1

Рассмотрим число $z=1+i$. Запишем это число в тригонометрической форме.

Найдем модуль:

$|z|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$

Тогда:

$z=1+i=\sqrt{2} \left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}i \right)$

Значит, $\cos\alpha =\dfrac{1}{\sqrt{2}}$, $\sin\alpha =\dfrac{1}{\sqrt{2}}$. Соответственно аргумент числа $\alpha =\dfrac{\pi }{4}$.

Тогда:

$z=1+i=\sqrt{2} \left(\cos\dfrac{\pi }{4} +i\sin\dfrac{\pi }{4} \right)$

Возведем число в степень по формуле Муавра:

$z^{30}=(\sqrt{2})^{30} \left(\cos\left(30\cdot\dfrac{\pi }{4}\right) +i\sin\left(30\cdot\dfrac{\pi }{4}\right)\right)=2^{15} \left(\cos\dfrac{15\pi }{2} +i\sin\dfrac{15\pi }{2}\right)=\\=2^{15} \left(\cos\left(-\dfrac{\pi }{2}\right) +i\sin\left(-\dfrac{\pi }{2}\right) \right)=2^{15} \left(0 +i\cdot(-1)\right)=0-2^{15} i$

Реальная (действительная) часть числа:

$\mathrm{Re}(z^{30})=0$

Ответ: 0