Question

Докажите
$tg(arcsinx) = \frac{x}{ \sqrt{1 - x {}^{2} } }$
​

Answer 1

$\mathrm{tg}(\arcsin x)=\dfrac{\sin(\arcsin x)}{\cos(\arcsin x)}$

ОДЗ: $x\in[-1; \ 1]$

Рассмотрим числитель:

$\sin(\arcsin x)=x$

Рассмотрим знаменатель $\cos(\arcsin x)$. Пусть $\arcsin x=\alpha$, то есть синус $\sin\alpha$ некоторого угла $\alpha \in\left[-\dfrac{\pi }{2} ; \ \dfrac{\pi }{2} \right]$ равен $x$, а нужно определить его косинус $\cos\alpha$. По основному тригонометрическому тождеству:

$\sin^2\alpha +\cos^2\alpha =1\\\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha\\\cos\alpha =\sqrt{1-\sin^2\alpha} \\\cos\alpha =\sqrt{1-x^2}$

Значит:

$\cos(\arcsin x)=\sqrt{1-x^2}$

Подставляем в исходную формулу:

$\mathrm{tg}(\arcsin x)=\dfrac{\sin(\arcsin x)}{\cos(\arcsin x)}=\dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}$