Question

Мистер Фокс записал на доске число (9*15-1)^2019 . Предварительно посчитав сумму цифр этого числа, Мистер Фокс стер число с доски и записал вместо него сумму цифр. Он продолжал повторять эту операцию до тех пор, пока на доске не осталось однозначное число. Какое число осталось на доске?

Answer 1

Пусть S(n) - сумма цифр натурального числа. Докажем, что $S(n)\equiv n(mod \;9)$

Пусть $n=\overline{a_na_{n-1}...a_1a_0}$. Тогда

$n=a_n*10^n+a_{n-1}*10^{n-1}+...+a_1*10^1+a_0*10^0=a_n*(9+1)^n+a_{n-1}*(9+1)^{n-1}+...+a_1*(9+1)^1+a_0\equiv a_n*1^n+a_{n-1}*1^{n-1}+...+a_1*1^1+a_0(mod\;9)=a_n+a_{n-1}+...a_1+a_0=S(n)$

Доказано.

Тогда очевидно, что $S(S(...S(n)))\equiv n(mod\: 9)$, и оставшееся в конце однозначное число дает при делении на 9 тот же остаток, что и исходное число.

$(9*15-1)^{2019}\equiv(-1)^{2019}(mod\;9)=-1\equiv 8(mod\;9)$

Единственное однозначное число, дающее остаток 8 при делении на 9, - это 8.

Ответ: 8