УМОЛЯЮЮЮЮ
Будем называть натуральное число нечётностепенным, если все его простые делители входят в его разложение в нечётной степени. Какое наибольшее количество нечётностепенных чисел может идти подряд?
Ответы
Заметим, что таких чисел меньше 8.
И правда, среди 8 подряд идущих натуральных чисел хотя бы одно будет давать остаток 4 при делении на 8 (всего возможных остатков 8, и каждое из 8 подряд идущих чисел дает свой остаток), т.е. будет делиться на 4, но не будет делиться на 8, а значит в его разложении на простые множители двойка входит в четной степени 2. Значит это число не нечетностепенное.
Также очевидно, что квадраты не нечетностепенные, т.к. каждый простой делитель входит в их разложение четное число раз.
Тогда выпишем последовательность чисел, дающих остаток 4 при делении на 8, и квадратов, и будем искать такие 2 подряд идущих в ней числа, что их разность не меньше 8 (тогда между ними в натуральном ряду не меньше 7 чисел)
1, 4, 9, 12, 16, 20, 25, 28, 36...
36-28=8. Проверяем числа между 28 и 36:
29=29¹; 30=2¹*3¹*5¹; 31=31¹; 32=2⁵; 33=3¹*11¹; 34=2¹*17¹; 35=5¹*7¹ - все 7 последовательных чисел нечетностепенные, а значит наибольшее количество нечётностепенных чисел, идущих в натуральном ряду подряд, равно 7
Ответ: 7