Составить уравнение кривой для каждой точки, которой отношение расстоянии до точки F(4;7) к расстоянию до прямой х = -7 равно 7/4
Ответы
Так как дано отношение расстояний от точки F(4;7) до прямой х = -7 и до кривой, равное 7/4, то делаем вывод: кривая - это гипербола.
Заданное отношение 7/4 это эксцентриситет этой гиперболы.
Этот вывод основан на свойстве:
Геометрическое место точек, для которых отношение расстояния до фокуса и до заданной прямой, называемой директрисой, постоянно и больше единицы, называется гиперболой. Заданная постоянная е > 1 называется эксцентриситетом гиперболы.
Для данной задачи имеем 3 заданных параметра:
1) уравнение директрисы х = -7,
2) значение эксцентриситета, равное 7/4,
3) координаты фокуса F(4; 7).
Из этих данных определяем, что прямая у = 7 является действительной осью гиперболы.
Из полученных данных определяем координаты вершины гиперболы на основе соотношения с/а = е.
Расстояние между директрисой и фокусом равно 4 - (-7) = 11.
Оно делится точкой гиперболы (на действительной оси это вершина) в отношении 7/4. Получаем координаты вершины.
Δх = 11*(7/(4+7)) = 7.
х(D) = x(F) - Δx = 4 - 7 = -3. Точка D(-3; 7)
Находим расстояние между фокусом и вершиной: DF = 4 - (-3) = 7.
Заменим с = а + DF = а + 7 и подставим в уравнение эксцентриситета:
(a + 7)/a = 7/4,
4a + 28 = 7a,
3a = 28,
a = 28/3.
Отсюда с = а + 7 = (28/3) + 7 = 49/3.
Теперь находим параметр b из соотношения:
b² = c² - a² = (49/3)² - (28/3)² = 1617/9,
b = √1617/3 = (7/3)*√33.
Осталось определить координаты центра гиперболы (точка L).
xL = xF - c = 4 - (49/3) = -37/3.
Координаты по оси Oy равны 7.
Точка L((-37/3); 7).
Получаем каноническое уравнение гиперболы.
Его можно преобразовать в более простой вид:
На одном из прилагаемых рисунков в программе GeoGebra данная кривая построена по заданному условию.
На этом же рисунке даётся общее уравнение кривой.
