Question

Найдите целые числа m и n, если известно, что m^2+2mn+3m-2n-4 является простым числом( пожалуйста, очень срочно).

Answer 1

$m^2+2mn+3m-2n-4 =\dfrac{1}{2}( 2m^2+4mn+6m-4n-8 )=\dfrac{1}{2}( m^2+4mn+4n^2+m^2+6m+9-9-4n^2-4n-1-7 )=\dfrac{1}{2}( (m+2n)^2+(m+3)^2-(2n+1)^2-4^2 )=\dfrac{1}{2}( (m+2n+2n+1)(m+2n-2n-1)+(m+3+4)(m+3-4) )=\dfrac{1}{2}( (m+4n+1)(m-1)+(m+7)(m-1) )=\dfrac{1}{2}(m+4n+1+m+7)(m-1)=(m+2n+4)(m-1)$

Тогда один из множителей равен $\pm1$

$1) m-1=1=>m=2=>m+2n+4=2n+6=2(n+3)$

$2(n+3)$ простое <=> $n+3=1=>n=-2$

2) $m-1=-1=>m=0=>m+2n+4=2n+4=2(n+2)$

$-2(n+2)$ простое <=> $n+2=-1=>n=-3$

3) $m+2n+4=1=>m-1=-2n-4=2(-n-2)$

$m-1$ простое <=> $2(-n-2)$ простое <=> $-n-2=1=>-n=3=>n=-3=>m=1-4+6=3$

4) $m+2n+4=-1=>m-1=-2n-6=2(-n-3)$

$2(n+3)$ простое <=> $n+3=1=>n=-2=>m=-1-4+4=-1$

Ответ: (2;-2), (0;-3), (3;-3), (-1;-2)